Читаем Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней полностью

Платона, а, как отмечают некоторые платонисты, остальное он был не способен понять, его обвинение звучит легковесно. Существует общепринятое мнение, что Платон отождествлял свои Идеи со своими Идеальными числами и что это было изобретение его престарелого ума, когда он уже утратил способность к немистическому мышлению.

Аристотель и сам отдавал предпочтение концепции натуральных чисел как «совокупности единиц». Но появление иррациональных чисел продемонстрировало, что иррациональные числа (типа корня квадратного из 2) либо вообще не порождены числами, либо не все числа есть «совокупность единиц». Иррациональные числа не могут быть получены ни присоединением единицы, ни конечной суммой рациональных чисел, созданных таким образом. Платон отвергал идею, что натуральные числа 2, 3… являются результатом суммирования 1 + 1, 1 + 1 + 1…, и утверждал, что они «по качеству то, чем они являются». Безусловно, говорил он, они не «совокупности единиц». «Совокупность» – это одно, а «число» – это другое. Это, кажется, придавало некое значение его теории формирования Идеальных чисел, в которой «участвовали» как натуральные числа, так и иррациональные.

Если более ранний вариант теории Идей математикам-нереалистам казался невразумительным, то продолжение, воплощенное в Идеальные числа, стало таковым вдвойне, даже в насмешливом изложении Аристотеля. Отдельные вопросы, вынесенные на обсуждение Аристотелем, звучали слегка сатирично, словно он пытался скорее выпятить свое превосходство, выставляя покойного наставника Академии как пустозвона мистагога, чем добиться понимания его зрелой философии. Почему, вопрошал он, число, воспринимаемое как единое множество, есть единица? Это та самая единица из платоновской нумерологии, единица, что порождает Все сущее из «Большого-и-Малого», та таинственная тень континуума, который Платон так и не объяснил?

Вопрос остался без ответа, поскольку Платон разместил «математические объекты» в диапазоне много выше области чувств, но ниже Единицы из Идей. Хотя вечные и неизменные объекты математики расположены ниже, чем Идеи, каждая идея остается лишь образцом данного рода, в то время как множество математических объектов могут быть похожи, например ненумерологическая чувственная три, но только одна Идея «Три».

Аргумент едва становится понятен после перехода к распутыванию сложной ситуации с закручиванием платонической триады: чувственные объекты, математические объекты, Идеи. Участие в одном сочетании «Большие-и-Малые» создает Идею, эта Идея та же самая, что и Число. Идеи лежат в основе всех вещей, все вещи состоят из примитивных элементов, элементы есть числа. Числа порождаются из «Больших-и-Малых», как и в Идеях. Таким образом, настоящие элементы всех вещей есть как Идеи, так и Числа, лежащие в основе всего. Но поскольку Числа есть Идеи, они недоступны для чувств, и не следует ожидать, что они поведут себя как математические числа, которые не являются Идеями. Идеальные числа воспринимаются разумом, а математические числа – чувствами.

Чтобы отодвинуть Числа, имеющие земное происхождение, от полезной и сложной арифметики, Платон объявил, что они не могут быть ни дополнены, ни умножены. Полностью релевантный Аристотель задался вопросом, как одна идея может создать много идей, если иметь в виду, что Идеи есть Числа. Казалось, Платон ответил ему: так быть не может. Поскольку, если Идея, которая есть Число, потенциально есть «скопище единиц», как это должно было быть, тогда оно в состоянии создать другие Числа или Идеи, но это делает возможным добавление чисел. Но сам же Платон заявил, что это невозможно. Аристотель также спрашивал, в чем точная разница между математической единицей и реальной единицей, если последняя есть число, или Число вообще? Поскольку Платон был мертв, когда Аристотель задал этот вопрос, он до сих пор остается без ответа. Допуская возможность последнего шага в универсальной нумерологии, Платон внес в иерархию Идей под видом наипервейшей Идеи «добродетель». Добродетель, таким образом, стала Числом, а Число стало Добродетелью. Предел был исчерпан. Число было обожествлено.

Возможно, только математик-реалист в состоянии полностью понять теорию, которую я попытался передать вкратце. Я прекрасно осознаю недостатки моей попытки. Она была предпринята, чтобы дать некоторое представление о глубине или ширине сомнений, внесенных в человеческое знание в результате неосторожного высказывания Пифагора, что «все сущее есть число». Если то малое, что знали древние пифагорейцы в области математики и ее научного применения, создало философию, охватившую все от физиологического чувства голода до духовного познания Абсолютного Бога, едва ли удивительно, что бо_льшая математика вдохновила современных пифагорейцев всего-то лишь на открытие физической вселенной в собственных головах.

Перейти на страницу:

Похожие книги

Простая одержимость
Простая одержимость

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

Джон Дербишир

Математика
Для юных математиков
Для юных математиков

Вниманию юного, и не очень, читателя предлагается книжная серия, составленная из некогда широко известных произведений талантливого отечественного популяризатора науки Якова Исидоровича Перельмана.Начинающая серию книга, которую Вы сейчас держите в руках, написана автором в 20-х годах прошлого столетия. Сразу ставшая чрезвычайно популярной, она с тех пор практически не издавалась и ныне является очень редкой. Книга посвящена вопросам математики. Здесь собраны разнообразные математические головоломки, из которых многие облечены в форму маленьких рассказов. Книга эта, как сказал Я. И. Перельман, «предназначается не для тех, кто знает все общеизвестное, а для тех, кому это еще должно стать известным».Все книги серии написаны в форме непринужденной беседы, включающей в себя оригинальные расчеты, удачные сопоставления с целью побудить к научному творчеству, иллюстрируемые пестрым рядом головоломок, замысловатых вопросов, занимательных историй, забавных задач, парадоксов и неожиданных параллелей.Авторская стилистика письма сохранена без изменений; приведенные в книге статистические данные соответствуют 20-м годам двадцатого века.

Яков Исидорович Перельман

Развлечения / Детская образовательная литература / Математика / Книги Для Детей / Дом и досуг