Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Предполагая, что Платон был уверен в объективной реальности своих Идей, мы встаем на спорную почву. Вес авторитета в философии, казалось, способствовал формированию этого мнения, хотя некоторые критики возражали, что Платон в свои преклонные годы отказался от объективной реальности Идей, и в поддержку своих возражений приводили отрывки из «Парменида» и иных работ Платона. Для реалистов-математиков не суть важно, кто прав, а кто нет, ведь они, разумеется, остаются верными объективной реальности математических «Идей», во что бы там верил или не верил Платон, состарившись. Иначе их реализм не имеет никакого смысла.

«Идеи», хотя и «объективные реальности», не есть «объекты» в прямом смысле слова: кирпичи, народ, эмоции, – а по существу стоят ближе к мыслям. «Идея», однако, не есть мысль в чьем-то человеческом мозгу, даже не в Мозгу Абсолютном, если Абсолют, он же Бог, вообще имеет мозг или, если таковой и имеет, хоть изредка думает. Идеи – существующие сами по себе сущности, которые могут быть мыслями думающего человека. Они над пространством и над временем, независимы от разных богов и людей, вечны, неизменяемы и прекрасны, они не плод разума, но воспринимаемы им и «известны» только благодаря разуму или душе, а не через чувства.

Все это становится очевидно для математика-реалиста. Но коварные трудности проявляют себя. Застарелый конфликт Единицы и Многого разгорается вновь в различиях между Идеями и миром чувств. Например, полным-полно треугольников, но есть только один Треугольник, бесконечность целых чисел и только одно Целое число. Сфера Идей из Абсолютной реальности, Абсолютного существования, мир чувств нереален и нестабилен, за исключением Объектов чувств, составляющих его или участвующих в Идеях. Идея есть Единица, выделенная посредством частичной реальности из Многого, если это Много вообще реально. Хотя реализм как Идея есть Единица, его неясность, как было показано в «Пармениде» Платона, множественна. Например, чем является «реальный» статус следующего предположения, что «дважды три равно семи»? К какой Идее он относится? Решение абсолютно простое – к реалистичной.

Чтобы сравнить свое Абсолютное существование и рассмотреть свою Абсолютную реальность, Платон включил созидательное воображение и легко превзошел подвиг пифагорейцев, которые изобрели Антипод (Анти-Землю). Он убедил себя, что постиг Абсолютную несущность. «Нереальная» составная часть предметов в мире чувств, так же как и ошибочные предположения, публикуемые время от времени невнимательными реалистами, типа «дважды три равно семи», и есть это Абсолютное несуществующее.

Вечное существование этого монстра не должно смущать нас, поскольку оно происходит благодаря участию в Истине, Красоте и Добродетели, чей реализм делает действительными как математику, так и древние верования, дожившие до наших дней. Но не следует забывать, что Зенон объяснял Сократу, что парадоксы Одного и Многого вдохновили его на собственные парадоксы. Пока все это, включая фундаментальный парадокс Единицы и Многого, к удовлетворению сторон не преодолено, математический реализм (как и математический анализ) оставался без прочного фундамента. Но это не превращалось в серьезное препятствие. Еще предстоит показать, что противоречивость неизбежно противостоит убежденности.

Вкратце рассмотрев Идеи как «объективированные концепции», задаем вопрос: как выявить Идею? Разумеется, не с помощью чувств. С помощью умозаключений тоже вряд ли уловишь их во всей полноте. Хотя разум может подойти для подобного распознавания, если применить диалектику.

Полностью порвав с чувствами, диалектика оперирует исключительно в царстве Идей. Она имеет целью определить понятие и распознать его истинность. С помощью диалектического процесса происходит «распределение» на составляющие, выявление общего для разных вещей и выделение в конкретном виде подвидов с окончательным распознаванием мельчайших составляющих. Но поскольку все существует парами, согласно теории пифагорейцев, платоновское деление находится в родстве с дополнительным «сочетанием». Усовершенствованное распределение и сочетание, как кажется, могут стать эквивалентом современному аппарату перекрестной классификации по правилам символической логики.