Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Логик-позитивист из школы экстремалов мог бы сказать, что этот вопрос лишен смысла. Экспериментатор будет настаивать, что любое предположение, например «длина этих двух палочек равна», имеет значение, только в случае, если предположение включает в себя средства его проверки. «Абсолютное равенство существует» в предположении, которое не выдержит этот тест. Это образец метафизических утверждений, что с научной точки зрения лишено всякого смысла. Такие утверждения не обязательно не важны. Многие из них ограничивают человеческое поведение, а некоторые начинали длительные и кровавые войны. Они просто не имеют значения для науки. Важны ли они для чистой математики? Математик-реалист не сомневается в данном вопросе. Для него абсолютное, идеальное равенство существует, но никогда полностью не проявляется.

Равенство как идея всегда одинаково. Будучи неизменным, оно остается единственно возможным объектом знания во всех данных вопросах. Поскольку, если измеренные длины двух металлических прутов, скажем, «равны» по длине, измеренной микрометром, но подвергнутся воздействию температуры, а сам микрометр начнут трясти совершенно непредсказуемым образом, кто может знать наверняка, что пруты равны по длине? И что это значит, если скажут, что равны? Текущий научный ответ, что все эти вопросы не могут иметь значения, потому что все эмпирические измерения есть статистические по сути, просто отодвигают к началу вопросов. Чувства, как в научном эксперименте, формируют мнение, размышление, как в математике, формирует знание. В этом и заключается, как отмечал математик-реалист, последователь Платона, разница между мнением и знанием. Вырабатывая свою позицию, реалист критикует интерпретацию типичного опыта.

Экспериментатор А придерживается точки зрения, что шесть дециметров в длине прута, измеренного в соответствии с общепринятыми стандартами, равны 7 с допуском плюс-минус 2. По мнению экспериментатора В, 5 плюс или минус 1 вполне достаточно. Математик-реалист настаивает на том, что ни А, ни В не могут знать ничего о «реальном» размере прута до тех пор, пока каждый продолжает апеллировать к своим чувствам и к своим приборам. Теперь числа, соответствующие длине, что А и В заложили в свои формулы и равенства, также сопровождаемые возможными погрешностями, рассматриваются как неизменные на все время процессов математической дедукции. И пока размышления корректны, утверждает реалист, А и В находятся в сфере знания. Когда же они перестают мыслить

абстрактно и переводят свои выкладки в экспериментальную фазу, они возвращаются обратно в поток простых мнений. Такова приблизительно точка зрения реалиста, и он никогда не перестанет удивляться тому, что, по мнению экспериментаторов, именно они преумножают накопленные знания человечества. Для него единственная часть любой науки, которая имеет право именоваться знанием, – это математика. Так как естествознание как раздвоенная личность находится в вечном конфликте само с собой, математика же, существующая монолитно в окружении разума, самодостаточна и отличается здравомыслием.

Бесконечный раздор между знанием Сократа и мнением нашел отражение в науке в виде конфликта между теорией и наблюдением. Тот факт, что подобные расхождения действительно имеют место, и достаточно часто, отрицать нельзя. Кто виноват, пока не решили, но есть подозрение, судя по некоторым примерам, что могут быть виновны оба фактора. Но реалист уверен в одном, что его математика всегда права, а потому вечно права. Но права так, как это понимает реалист, а математика реалиста по этой причине не имеет никакого значения в областях научного эксперимента и здравого смысла.

Возможно, что в большей степени, чем общие сведения о математике (равенства, точки, линии и т. д.), ее теоремы дают математику-реалисту бесчисленные подтверждения его уверенности. Вместо поиска доказательств этого постулата у Платона (или Сократа) процитируем другого знаменитого философа, известного как математика высокого уровня. Обратимся к Декарту, жившему в 1596–1630 годах, потому что он типичный великий математик, чье научное чутье метафизично и не однозначно. Как можно предположить со стороны такого ума, Декарт верил в реальность математических понятий. В «Пятой медитации» он раскрывает видение реального в Вечном треугольнике.

«Я представляю себе треугольник, – говорит он, – хотя такая фигура, возможно, и не существует и никогда не существовала нигде в мире за пределами моего разума.