Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Пусть даже часть из обсуждавшегося в Академии больше не представляет интереса для математиков или современных логиков, Платон все равно заслуживает уважения за то, что побудил математиков задать вопрос, чем же (если вообще чем-то) они занимаются. Он и его ученики развивали одно из главных направлений, касавшееся происхождения математических истин, и даже если отдельные современные математики находят платоновскую реальность подобных истин незрелой, если не абсолютно абсурдной, то некоторые, не менее компетентные, воспринимают мировоззрение Платона разумным и вполне убедительным. Итак, что бы кто бы ни думал о математической философии Платона, он не в состоянии ни возвеличить, ни низвергнуть эту философию без упоминания видных имен в математике. Как сказал бы Сократ, реальность математики – это вопрос разных точек зрения, но не разного уровня знаний, а споры по поводу ее состоятельности – всего лишь словесные баталии ни о чем.

Но тщетность дебатов не означает, что предмет дискуссии никого не интересует из числа участвующих в ней.

Математик, верящий в платоновский подход к математике, не найдет ничего нелепого или возмутительного в отрицании научного наблюдения и опыта в пользу чистого размышления. Более того, всю математику, кроме чистой, он удостоит лишь высокомерным презрением, особенно если вся его жизнь с детства протекала в закрытых аудиториях. Его оппонент найдет много возмутительного и, если он еще и окажется пессимистом, может даже напророчить повторение мрачного Средневековья. Ведь вера в реальность математики Платона явно превратилась в межевой столб между древними или средневековыми учеными умами и современными, или, как выразился бы модернист, между ненаучной и научной математикой. Математики, как правило, ненаучны. Это точка зрения не математиков, а естествоиспытателей. Эту точку зрения можно проверить, опросив мнение тех, кто сделал науку своей жизнью.

Поскольку большая часть математического мировоззрения Платона вложена в уста героев его диалогов, можно не вдаваться в подробности, что он или они в действительности думали о математике. Только раз, например, Сократ в диалоге заговорил в своей традиционной манере. В отличие от Платона у Сократа не было излишне восторженного отношения к математике, кроме, пожалуй, как к открывательнице Истин или как к тренингу мозга. Он знал, что геометрия полезна при измерении полей, и далее в том же духе, и это все. В «Республике» Глокон вопрошает:

– Уверен, вы не в состоянии уважать профессионального математика как диалектика?

– Разумеется, нет. Мне не довелось встретить математика, способного размышлять, – спешит ответить Сократ.

Как ни суди, данное высказывание выглядит как честное признание. Хотя Сократ мог утрировать свою оценку, в наши дни полно людей, которые согласились бы с ним. Но Платон никогда.

Математика, утверждал он, ускоряет развитие умственных способностей и незаменима в качестве предварительной дисциплины для юных, тех кто еще недостаточно возмужал,

чтобы начать упорное изучение философии, диалектической аргументации и пифагорейской отрасли знания – нумерологии. Вклад математических занятий в достижение серьезных целей в философии прямой и позитивный. Важен именно математический метод, в значительно большей степени, чем математические истины. Будущий философ отрабатывает посредством геометрических упражнений правильное восприятие и функции определений, непосредственно дедукцию, технику анализа и метод доказательства от противного (описанный в одной из предыдущих глав), что важно как для диалектики, так и в организации строя мысли. Подобная тренировка необходима для всех, кто собирается получать знания, она готовит ум искать и распознавать наивысшие реальности как противостоящие чувственным свидетельствам. Математика сама по себе не может раскрыть высшую реальность или абсолютную истину, диалектика может. Мнение происходит от чувств и связано со «становящимся», знание идет от ума и относится к «существующему», математика становится мостом между мнением и знанием. Диалектика более проницательная и острая, чем математика, – это процесс, который выделяет новые истины путем анализа и аргументации. Исключительно в уме процесс проходит от Идеи, через Идею и к Идее. В чисто математическом доказательстве истинность гипотезы не подвергается сомнению. Диалектика же ищет и находит в идеях реальности, подтверждающие истинность математических предположений. Она подтверждает «самоочевидность» математических аксиом, называемых во времена Платона и долгое время после Платона «общеизвестными представлениями», как «самоочевидные истины» и проверяет базовые гипотезы и фундаментальные процессы всех методов раскрытия истин, из которых математический метод – лишь один из многих.