Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Согласно Сократу, опыт показал, что слуга не знал, какие знания хранятся в его голове до поры до времени, пока они не потребуются. Способность мальчика дать правильные ответы на вопросы доказывает, что математические истины, спящие в его мозгу, «были просто разбужены в нем» во время опроса, «как под гипнозом». Далее, «знания, которые он теперь имеет» он должен «или накапливать, или навсегда оставить при себе». Но поскольку мальчик никогда не ходил в школу и не изучал математику, следует отдать предпочтение второй возможности.

Сократ, кажется, сам поверил, что сформулировал свой тезис. Математические знания непреходящи. Души владеют ими до нашего рождения, забывая их при входе в нашу жизнь, но их можно вызвать усилием воли при наличии соответствующей потребности. В частности, математика не плод творения ума, а только «памяти». И следует важный вывод: «…и если истина каждой вещи всегда существует в душе, значит, душа бессмертна. По этой причине веселитесь и взывайте, чтобы достать то, чего вы не знаете или, часом, позабыли». На что Менон (не названный в диалоге скептиком) ответил:

– Я чувствую, что мне нравится то, что вы говорите. Не очень искушенный в правилах поведения, Сократ ответил:

– И мне, Менон, нравится то, что я сказал. Известнейшим образцом доктрины припоминания на чисто интуитивной основе стала «Ода намеку на бессмертие» Вордсворта. Подобно большинству поэтов, подпавших в юности под влияние реализма Платона, Вордсворт не верил, в отличие от верившего Сократа (Платона?), что логические и научные знания были унаследованы вместе с душой. Реализм в понимании Платона исходит от эмоций, а не от разума. Мистику, математику и прочее найти еще можно. Одно из предназначений мистицизма – моментальное знание о реальности прямой интуицией без посредничества чувств или разума. Настоящая мистика не нуждается в доказательствах, как у Сократа. Для него они не нужны, неуместны и бессмысленны.

Доказав бессмертие души, Сократ быстро перешел к бессмертию добродетели. Нет необходимости следовать за ним. Все его (или Платона?) усилия по доказательству предположения такого рода фундаментально не отличаются от представленного. Для ума, жаждущего быть убежденным, наиболее убедительными из всех попыток Платона установить «объективную реальность мироздания» (таких, как истина, добродетель, любовь, человек, знания и т. д.) были те, что касались общеизвестных истин арифметики и геометрии. И значит, так оно и было, раз Сократ убедил Менона. Платон не был ни первым, ни последним, кто искал математическое постоянство среди ускользающих воспоминаний о событиях прошлого. Из века в век у думающих людей сохраняется потребность найти отдельные признаки постоянного убежища в вечно существующем потоке, который время от времени бросает их на скалы (или в болото) предполагаемо вечной математики.

Суть реализма Платона – мистическая доктрина об Идеях и Формах. По мнению ряда экспертов, записи Платона содержат как минимум две теории Идей. Математики, согласные с Харди, которого уже цитировали в первой главе, в том, что «математическая реальность лежит вне нас», не нуждаются в убеждении самих себя, которую из теорий Идей им стоит использовать для поддержания собственной уверенности. Одна, чтобы объединить все, предоставляет им изобилие взаимно подтверждающих аргументов. Нет необходимости беспокоить тех, кто интересуется вместе с Казнером, как человеческие создания когда-то додумались поверить в платоновскую реальность математики, школьными сомнениями о том, в которую из версий своей теории, если таковые имеются, в конечном счете верил сам Платон. Любой единичный аргумент из скопления всевозможных аргументов в состоянии показать, что подтолкнуло реалистически мыслящих математиков разглядеть «объективную реальность» математики. Выбрав один из самых простых, рассмотрим его по «Фаэдо» в части «реального» равенства.

Чувства никогда не указывают на точное равенство двух предметов, очищение путем измерений всегда показывает расхождения, не установленные простым наблюдением. Следуя этим путем, если чувственная очевидность что-то и говорит нам, то необходимо беспредельное количество очисток от примесей. Хотя действительно достоверное равенство находится за пределами чувств, разум не испытывает проблем в установлении равенства с абсолютной точностью. Если это «реальное» равенство никогда не достижимо для чувственного наблюдения, где оно и что оно собой представляет?