Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Доказательство 2: Разделите круг на четное количество равных секторов-«кусочков». Возьмите «кусочек» из верхней половинки и положите рядом с «кусочком» из нижней половинки, как показано на рисунках (в наших примерах мы разрезали «пиццу» сначала на 8, а потом – на 16 частей). Разложите так весь круг. С увеличением количества секторов форма каждого из них будет все больше и больше напоминать треугольник с высотой r. Чередование нижних секторов (назовем их «сталагмитами») с верхними («сталактитами») дает нам фигуру, по форме очень близкую к прямоугольнику, с шириной, равной r, и длиной, равной половине длины окружности, то есть πr. (Чтобы сделать ее именно прямоугольником, а не параллелограммом, «отсечем» от крайнего левого «сталактита» ровно половину и «приклеим» ее к правому краю.) Так как форма разделенного на сектора круга становится все более и более

прямоугольной с увеличением количества этих секторов, площадь окружности составит

bh= (πr)(r) = πr²

как мы и предполагали.☺

А еще можно взять окружность и представить ее на плоскости в виде графика.

Для круга с радиусом r и центральной точкой, расположенной в координатах (0, 0) работает формула

x² +y² =r²

что хорошо видно по графику чуть ниже. Чтобы в этом разобраться, возьмем некую лежащую на окружности точку с координатами (x, y). Опустим из нее до оси x перпендикулярную этой оси линию – получится прямоугольный треугольник с катетами x и y и гипотенузой r. Тогда, согласно теореме Пифагора, x² + y² = r².

Круг с r = 1 называется единичным. Если мы «растянем» такой круг по горизонтали с коэффициентом a и по вертикали с коэффициентом b, получится эллипс (или овал) вроде этого:

Подобная фигура имеет формулу

и площадь πab, что вполне логично, потому что площадь изначального единичного круга равняется π, после чего мы растянули ее на ab. Обратите внимание, что при a = b = r мы получим круг (а не эллипс) с радиусом r – πab же, таким образом, превратится в πr².

Существует несколько забавных фактов, связанных с эллипсами, которыми я хотел бы с вами поделиться. Например, вы можете нарисовать овал с помощью двух канцелярских кнопок, лески и карандаша.

Возьмите кнопки, воткните их в лист бумаги или картона и накиньте на них колечко из лески или прочной нитки (но до предела не натягивайте). Поставьте карандаш кончиком в центр получившейся конструкции и оттяните один из концов лески так, чтобы получился треугольник. А теперь постепенно передвигайте карандаш по бумаге вокруг кнопок, не ослабляя леску. Диаграмма, получившаяся в результате, будет иметь эллиптическую форму.

Местоположения кнопок называются фокусами эллипса, и они, конечно же, тоже волшебные. Если вместо кнопки в точку одного фокуса положить бильярдный шар и ударить по нему так, чтобы он покатился в случайном направлении, то после всего лишь одного касания о периметр он обязательно пройдет через точку второго фокуса.

Кстати, космические тела, вроде планет и комет, путешествуют вокруг солнца именно по эллиптической орбите. Естественно, я не смог удержаться:

И даже у затмения
Овальное строение!

Отступление

А вот вам еще один очень интересный факт – не существует такой формулы, которая позволила бы просчитать длину эллипса. Зато есть некое приближенное представление, придуманное математическим гением по имени Сриниваса Рамануджан[22] и позволяющее оценить эту длину хотя бы примерно:

π(3a+ 3b – √((3a + b)(3b + a)))

Обратите внимание, что при a = b = r выражение упрощается до (6r – √(16r²)) = 2πr – длины окружности.

Число π появляется и в трехмерных фигурах. Возьмем для примера консервную банку, которая для любого математика является цилиндром. Так вот, объем цилиндра (то есть его внутреннее пространство) с радиусом r и высотой h составит

V_{цилиндра} = πr²h

Объяснить эту формулу можно, представив цилиндр как совокупность окружностей, расположенных одна на другой так, чтобы образовалась стопка высотой h (представьте себе стопку подносов в ресторане и поймете, что я имею в виду).