Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Кстати, количества, выражаемые как ∞ – ∞ (бесконечность минус бесконечность) или 1/0 являются неопределенными. Конечно, очень велико искушение заявить, что 1/0 = ∞, потому что при делении единицы на все меньшую и меньшую положительную величину частное будет расти. Но ведь если делить 1 на все меньшие и меньшие по абсолютной величине отрицательные числа, то частное будет представать все большим и большим по абсолютной величине отрицательным числом.

Важность бесконечной суммы: геометрические ряды

Начнем, пожалуй, с утверждения, принимаемого всеми математиками и кажущегося неправильным большинству непосвященных:

0,99999… = 1

То, что две эти величины очень близки друг к другу, не вызывает сомнений практически ни у кого. Но считать их одним и тем же числом?.. Несколько чересчур, правда? Неправда. Позвольте мне попробовать убедить вас в обратном. Поверьте, доказательств у меня так много, что хотя бы одно из них обязательно покажется вам правдоподобным.

Самое, пожалуй, простое исходит из утверждения, что

Умножаем обе стороны на 3 и получаем

Другое доказательство основано на методе, который мы использовали в главе 6 для периодических десятичных дробей. Обозначим бесконечную последовательность знаков после запятой переменной w, вот так:

w= 0,99999…

Умножим обе части на 10:

10w= 9,99999…

Вычтем первое уравнение из второго

9w= 9,00000…

и получим w = 1.

А вот доказательство, для которого алгебра вообще не нужна. Надеюсь, вы согласны с тем, что два числа могут считаться разными, если между ними расположено третье число, не равное ни первому, ни второму (например, их среднее арифметическое)? Пойдем от обратного: предположим, что 0,99999… и 1 суть разные величины. Какое же тогда число будет между ними? А если такого числа нет, значит, мы не можем утверждать, что они разные.

Два числа или две бесконечные суммы считаются равными в том случае, если они сколь угодно близки друг к другу, то есть разница между ними меньше любой положительной величины, будь то 0,1 или 0,0000001, или 1, деленное на триллион. Разница между 1 и 0,99999… – наглядный тому пример, и именно это дает математикам право утверждать, что 1 и 0,99999… суть одно и то же число.

Следуя той же логике, мы можем оценить бесконечную сумму следующего ряда:

А еще мы можем найти ей физическое соответствие. Представьте, что вы стоите в двух метрах от кирпичной стены. Вы делаете шаг вперед – ровно на метр. Следующий шаг будет вполовину короче – полметра. Потом четверть метра, одна восьмая метра и так далее. С каждым шагом расстояние между вами и стеной сокращается ровно вполовину. Если проигнорировать физические ограничения на длину каждого следующего шага (в том числе и длину ваших ступней), то рано или поздно вы подберетесь вплотную к стене. Всего же вы пройдете ровно 2 метра.

То же можно представить и геометрически. Начнем с прямоугольника с длинами сторон 1 и 2 и площадью 2. Разделим его пополам, потом еще раз и еще – и так до бесконечности. Площадь первого сектора будет равна 1, второго – 1/2, третьего – 1/4 и так далее. Даже когда мы будем делить на n, стремящееся к бесконечности, мы не выйдем за пределы начального прямоугольника, а площади всех его секторов в сумме будут по-прежнему равны 2.

Алгебра позволяет нам подойти к решению задачи с точки зрения частичных, промежуточных сумм:

Эта закономерность подсказывает нам, что при n ≥ 0

Доказать это можно либо с помощью метода индукции (см. главу 6), либо как частный случай формулы конечного геометрического ряда.

Теорема (конечный геометрический ряд): При x ≠ 1 и n ≥ 0

Доказательство 1 (метод индукции): При n = 0 формула говорит нам, что  что, конечно же, верно. Предположим теперь, что n = k, то есть наша формула превращается в

Она отлично работает и при n = k + 1, поэтому, добавив к обеим сторонам x^k+1, мы получим

что и требовалось доказать.◻

А что, если мы немного схитрим, прибегнем к алгебре «со сдвигом»?

Доказательство 2: Предположим, что

S= 1 +x+x² +x³ +… +xⁿ

Умножим обе стороны на x:

xS=x+x² +x³ +… +xⁿ+x^{n+ 1}

Вычтем xS и, проведя ряд упрощений, получим

S−xS= 1 −x^{n+ 1}

Другими словами, S(1 − x) = 1 − x^{n + 1}, то есть

что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что при x = 1/2 конечный геометрический ряд подтверждает выведенную нами ранее закономерность:

Чем больше n, тем ближе (1/2)n будет к 0. Следовательно, при n → ∞, у нас получится