Маленькая книга о чёрных дырах

Центростремительный ход времени внутри горизонта – настолько важная в физике черных дыр идея, что для лучшего ее понимания мы вернемся к языку дифференциальной геометрии. Вспомним, что метрика пространства-времени играет двойную роль: она задает собственное время между времениподобными разделенными событиями и собственное расстояние между пространственноподобными разделенными событиями. И существует прекрасный способ объединить обе эти роли пространственно-временной метрики в одной формуле. Для этого мы напишем формулу не для расстояния, а для квадрата расстояния между двумя близкими событиями. Если квадрат расстояния положителен, значит, эти события разделены пространственноподобно, а если он отрицателен, то они разделены времени-подобно, и то, что мы принимали за квадрат расстояния, в действительности является отрицательным квадратом собственного времени между событиями. В решении Шварцшильда, как и в любом другом решении уравнений Эйнштейна, формула для метрики (основанная на функции хода, радиальном растяжении масштабов и т. д.) в действительности представляет собой одну из этих формул для квадрата расстояния, который может приобретать положительные или отрицательные значения. Для двух событий, немного разнесенных в радиальном направлении, квадрат расстояния между ними положителен над горизонтом, но отрицателен под ним. Последний пункт является ключевым: отрицательный квадрат расстояния означает, что события разделены времениподобно. Другими словами, радиус становится времениподобным, а время – пространственноподобным. Как ни странно все это звучит, ничего особенно необычного с кривизной геометрии Шварцшильда здесь не происходит; просто обычные понятия времени и расстояния при пересечении горизонта отчасти меняются местами.

Но несмотря на это их смешение, внутри горизонта наше исходное определение радиуса в решении Шварцшильда сохраняет свою силу: даже внутри черной дыры радиус все равно остается равным длине окружности с центром в начале отсчета, деленной на 2π. Это можно выразить и по-другому: площадь сферы при любом данном радиусе в решении Шварцшильда в 4π раза больше квадрата радиуса – формула, которую учат в школе. Но внутри черной дыры ее истинное значение становится даже немного пугающим: ведь радиус здесь, как мы только что узнали, является также и временем, и поэтому сфера, о которой мы говорим, представляет собой полную протяженность пространства в двух угловых направлениях в фиксированный момент времени. Когда время идет вперед (что означает движение радиуса внутрь), сфера становится всё меньше, меньше и меньше, а потом – бабах! – и вот она, сингулярность!

Чтобы объяснить наше «бабах!» при приближении к сингулярности, надо рассказать о приливных силах. Как хорошо понимал Ньютон, океанские приливы, которые происходят у нас на Земле, – это проявление гравитационного притяжения нашей планеты Луной[8]. Луна немного сильнее притягивает ту сторону земного шара, которая обращена к ней, чем противоположную. Это неравенство сил чуть-чуть вытягивает Землю в направлении Луны, что сказывается на форме всей Земли, но так как вода – субстанция текучая, то океаны реагируют на него заметнее, чем суша. В сумме приливные силы от Луны действуют так, как если бы они тянули к Луне ту сторону Земли, которая ближе к ней, при этом вытягивая противоположную сторону Земли в обратном направлении – от Луны. Это поначалу интуитивно кажется недоразумением: мы же знаем, что тяготение – это сила притяжения, а не отталкивания! Дело в том, что приливные силы – это результирующая, которая получается после учета усредненного гравитационного воздействия Луны на Землю. Это воздействие немного меняет орбитальное движение Земли, а приливные силы несколько растягивают ее.

Рис. 3.4. Падение зонда внутрь черной дыры: вид снаружи горизонта событий.

Рис. 3.5. Падение зонда внутрь черной дыры: вид снаружи горизонта событий.

Под горизонтом зонд вовлекается в пространственно-временной коллапс.

По мере того как «время» движется от r = r_s на горизонте событий к r = 0 в сингулярности, зонд растягивается до бесконечности в одном пространственном направлении (“t”) и сжимается до нуля в двух пространственных сферических направлениях.