Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

К более серьёзному разговору об использовании знаков мы ещё вернёмся в главе 5 (стр. 115). Пока же скажу лишь то, что на нашем кружке я всегда старался не только решать отдельные задачи, но и формулировать, хотя бы для себя самого, какие-то более общие цели. Знакомство с семиотической идеей — одна из таких «сверхзадач». Мы не раз обсуждали то, что числа обозначаются цифрами, звуки речи — буквами, а, скажем, музыкальные звуки — нотами. Вспоминали и другие системы знаков, например, дорожные знаки. Так что эта идея для моих кружковцев уже не совсем новая. Вот мальчики и предлагают рисовать решения. Поначалу они и в самом деле пытаются делать что-то вроде реалистических рисунков; очевидно, они находятся пока на пиктографическом уровне. Но это трудно, и довольно скоро мы переходим на иероглифический уровень: рисунки становятся более абстрактными — теперь пустая коробка обозначается квадратом, а заполненная — квадратом с кружком внутри. Я предлагаю в последнем случае рисовать просто кружок. Очередное препятствие: дети не умеют рисовать аккуратно, и нарисованный ими круг не всегда легко отличить от квадрата. Я делаю ещё одно предложение: рисовать круг с крестом. Теперь, после всех этих эволюций, одно из решений выглядит так, как на рис. 40.

Рис. 40.Первая, вторая и четвёртая коробки пусты, в третьей и пятой лежит по шарику.

— А почему крестом?

— А какая разница, как обозначать, — отвечаю я. Это я пытаюсь равнодушным пожиманием плеч ещё раз намекнуть на ту идею, про которую специалист по семиотике сказал бы что-нибудь вроде: «Относительная самостоятельность знака по отношению к означаемому и его (в известных пределах) произвольность».

Между прочим, получившаяся задача в одном отношении сложнее предыдущих: теперь каждое новое решение нужно сравнивать не с другими решениями, а с их условными обозначениями. На этот раз мальчики находят всего 9 решений, и после нескольких безуспешных попыток приходят к выводу, что больше решений нет.

И вот, наконец, наступает минута моего триумфа, та, которую я так долго ждал и так упорно готовил. Петя вдруг восклицает, тыча пальцем в лист бумаги:

— Ой, смотрите! Пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!

Дима вскакивает очень взволнованно:

— Да, да, папа, я уже давно хотел тебе это сказать!

— Значит, должно быть ещё одно решение, — подхватывает Женя.

— А давайте, — предлагает Дима, — принесём решение той задачи и найдём, чего не хватает.

У детей всегда — сказано — сделано: он уже бежит в кабинет, чтобы искать там нужные решения. Ходить, однако, далеко не приходится. Подобно известному роялю в кустах, конверт с решениями всех предыдущих задач оказался здесь же, на столе.

Мне было очень обидно, что «ходить далеко не пришлось». Во-первых, я зря пробегал в другую комнату за решением, а главное, я понял, что никакого открытия не было, а папа всё заранее подготовил. — Дима.

Мы обсудили, какой из вариантов — с буквами, с дорожками или с бусами — удобнее для нас, и выбрали бусы. Во время работы случился небольшой конфуз. Когда мы раскладывали полоски с «бусами», одна из них случайно перевернулась на 180°. В результата одно из прежних решений пропало, а другое, ему симметричное, оказалось повторённым дважды. Мы едва не запутались.

Я хотел сказать, что она перевернулась, но не стал, так как думал, что, может быть, это всё равно. — Дима.

Почему-то все ребята как один были убеждены, что недостающий вариант обязательно окажется последним. Тем не менее тот факт, что он вышел уже четвёртым, нисколько их не обескуражил. Они положили шарики в соответствии с этим новым вариантом, продиктовали мне рисунок десятой строчки, а потом разложили остальные бусы — каждые к своему рисунку. А я закончил задание с чувством абсолютного триумфатора.

То, что произошло сегодня, кажется мне крайне важным. Мы не просто решили задачу. Мы решили её путём сведения к другой, изоморфной ей и уже ранее решённой задаче. Это — важнейшая общематематическая идея, и разве не чудо, что нашёлся такой материал, на котором эту идею удалось продемонстрировать шестилеткам? Да к тому же так, что они сами до неё додумались!

Доказательства

События на нашем кружке меняются с головокружительной быстротой. Не успели мы разобраться с одной великой идеей, как тут же на подходе другая. Как-то сам собой возникает вопрос: почему каждый раз получается ровно 10 решений? Их в самом деле больше не существует, или мы просто не сумели их найти? Как доказать, что их всего десять?