Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Супермен, впервые появившийся на Земле в 1938 г., до сих пор остается одним из величайших кумиров мира фантастики и фэнтези. Я привожу здесь первую страницу первого комикса о Супермене 1938 г., на которой объяснялось его происхождение[27]. Еще младенцем он прилетел с планеты Криптон, «физическое строение обитателей которой на миллионы лет опередило наше. В зрелом возрасте представители его расы приобретали титаническую силу». Действительно, повзрослевший Супермен «легко мог прыгать на 1/8 мили[28], перескакивать через двадцатиэтажные здания… поднимать огромные тяжести… бежать быстрее скоростного поезда…» – и все эти качества торжественно провозглашались в знаменитой заставке к радиопередачам и позднейшим телевизионным сериалам и фильмам: «Он быстрее летящей пули. Он сильнее локомотива. Он может перепрыгнуть через высотное здание одним прыжком. ‹…› Это Супермен!»

Исходный миф о Супермене и объяснение его сверхсилы; начальная страница первого комикса о Супермене 1938 г.

Все это, может быть, и так. Но в последнем квадрате этой же первой страницы мы находим еще одно смелое заявление, настолько важное, что его даже набрали прописными буквами: «НАУЧНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ ПОРАЗИТЕЛЬНОЙ СИЛЫ КЛАРКА КЕНТА… Невероятно? Нет! Ибо прямо сейчас в нашем мире есть существа, обладающие сверхсилой!» В подтверждение этому приводятся два примера: «Скромный муравей может держать вес, в сотни раз превышающий его собственный» и «Кузнечик прыгает на расстояние, которое для человека составило бы длину нескольких кварталов».

Какими бы убедительными ни казались эти примеры, в них проявляются классическое непонимание и ошибочные выводы из достоверных фактов. Муравей кажется, по меньшей мере на первый взгляд, гораздо сильнее человека. Однако, как мы узнали от Галилея, относительная прочность или сила систематически увеличивается с уменьшением размеров. Поэтому при уменьшении масштаба с размеров собаки до размеров муравья из простых правил масштабного изменения силы при изменении размеров следует, что если «небольшая собака может нести на себе двух или даже трех таких же собак», то муравей сможет нести на своей спине целую сотню муравьев такого же размера. Кроме того, поскольку человек приблизительно в 10 миллионов раз тяжелее муравья, из того же рассуждения следует, что человек может нести на себе лишь одного другого человека. Таким образом, муравей на самом деле обладает силой, нормальной для существа его размера, так же как и человек, и в том, что он способен поднять груз, вес которого в сто раз превышает его собственный, нет ничего необычного или удивительного.

Это недоразумение возникает из-за естественной склонности к линейному мышлению, которое подразумевает, что удвоение размеров животного приводит к удвоению его силы. Будь это так, мы были бы в 10 миллионов раз сильнее муравьев и смогли бы поднимать около тонны, что соответствует способности Супермена поднимать более десяти человек за раз.

3. Порядки величины, логарифмы, землетрясения и шкала Рихтера

Как мы только что видели, при увеличении линейных размеров объекта в 10 раз без изменения его формы или состава, площади его поверхностей (и, следовательно, прочность) увеличиваются в 100 раз, а объемы его частей (и, следовательно, вес) – в 1000 раз. Такие степени десяти называют порядками величины и обычно записывают в удобном сокращенном виде: 10¹, 10², 10³ и так далее. Степенной показатель – маленькие цифры над десяткой – показывает, сколько нулей следует после единицы. Так, 10⁶ обозначает миллион, то есть шесть порядков величины, так как это число записывается в виде единицы с шестью нулями: 1 000 000.

В этих обозначениях результат, полученный Галилеем, можно выразить следующим образом: при увеличении линейного размера на каждый порядок площадь и прочность увеличиваются на два порядка, а объем и вес – на три порядка. Из этого следует, что при увеличении площади на один порядок величины объем увеличивается на 3/2 (то есть полтора) порядка. То же соотношение существует и между прочностью и весом: при увеличении прочности на один порядок величины вес, который может поддерживать данная конструкция, увеличивается на полтора порядка. И наоборот, если вес увеличивается на один порядок величины, прочность возрастает лишь на 2/3 порядка. В этом состоит существенное проявление нелинейного соотношения между этими величинами. Если бы это соотношение было линейным, то при увеличении площади на один порядок величины объем тоже увеличивался бы на один порядок.