Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

В отличие от биологии, в которой уделялось внимание законам масштабирования, в том, что касается изучения городов, городских систем или компаний, до наших работ этим законам уделялось поразительно мало внимания. Возможно, это было вызвано тем, что мало кто подозревал, что такие сложные, исторически сложившиеся рукотворные системы могут проявлять какую бы то ни было систематическую, численно выразимую регулярность. Кроме того, в исследованиях городов гораздо меньше принято использовать подобные модели и сравнивать теории с данными, чем в физике или биологии. Существовало, однако, одно важное исключение из этого правила: я имею в виду знаменитый закон масштабирования, известный под названием закона Ципфа для рейтинга городов по численности их населения. Его графическое представление приведено на рис. 39.

Это очень интересный закон: в своей простейшей формулировке он утверждает, что рейтинг (порядковый номер) города обратно пропорционален численности его населения. Таким образом, самый крупный город городской системы должен быть приблизительно в два раза больше, чем второй по величине, в три раза больше, чем третий, в четыре раза больше, чем четвертый, и так далее. Например, по данным переписи 2010 г., крупнейшим городом Соединенных Штатов был Нью-Йорк, население которого составляло 8 491 079 человек. Согласно закону Ципфа, численность населения второго по величине города, Лос-Анджелеса, должна быть приблизительно равна половине этого числа, то есть составлять около 4 245 539 человек, у третьего по величине города, Чикаго, должно быть приблизительно в три раза меньше жителей, то есть около 2 830 359 человек, у Хьюстона, занимающего в этой классификации четвертое место, – в четыре раза меньше, то есть около 2 122 769 человек и так далее. Реальные цифры – 3 928 864 жителя Лос-Анджелеса, 2 722 389 жителей Чикаго и 2 239 558 жителей Хьюстона – оказываются в достаточно хорошем согласии с законом Ципфа; отклонения от его предсказаний ни в одном из этих случаев не превышают 7 %.

Закон Ципфа назван по имени гарвардского лингвиста Джорджа Кингсли Ципфа, который популяризовал его в своей книге «Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия», опубликованной в 1949 г.[131]. Впервые он сформулировал свой закон в 1935 г., в применении не к городам, а к частоте употребления слов в языках. В исходной формулировке этот закон утверждал, что частота появления любого слова в корпусе письменного текста, например в полном собрании пьес Шекспира или в Библии – или даже в этой книге, обратно пропорциональна его рейтингу в таблице частотности. Так, наиболее часто встречающееся слово используется приблизительно в два раза чаще, чем второе по частотности, в три раза чаще, чем третье, и так далее, как показано на рис. 40. Например, анализ текстов на английском языке показывает, что самое частое слово – это, что неудивительно, определенный артикль the, на долю которого приходится около 7 % всех используемых слов. Второе место занимает предлог родительного падежа of, частота появления которого приблизительно в два раза меньше и составляет около 3,5 % всех слов, а за ним следует союз and, частота употребления которого меньше приблизительно в три раза, а именно близка к 2,3 %, – и так далее[132].

Еще более загадочно то, что тот же самый закон оказывается справедливым для поразительно широкого спектра примеров, в который входят распределения по размерам морских судов, деревьев и элементарных частиц, метеоритов, нефтяных месторождений, файлов, передаваемых через интернет, и многого другого. На рис. 41 показано, как подчиняется этому закону распределение размеров компаний. Удивительная универсальность закона Ципфа и некоторые из его следствий привели к тому, что многие исследователи и авторы научных работ, воображение которых поразила его ошеломляющая простота, стали находить в нем некие мистические свойства. И сам Ципф, и многие последующие ученые размышляли о происхождении этого закона, но никакого общепринятого объяснения его существования так до сих пор и не появилось.

Рис. 39. Рейтинг городов США по размерам: по вертикальной оси отложен рейтинг городов, а по горизонтальной – численность их населения. Отметим, что на обоих графиках на этой странице имеются большие отклонения для точек с наибольшим рейтингом (слова the и города Нью-Йорка)

Рис. 40. Закон Ципфа для частотного распределения слов в английском языке: по вертикальной оси отложена частота употребления слов, а по горизонтальной – их рейтинг