Математическая планета. Путешествие вокруг света

Во всех трех случаях мы находились не на рынке, а в магазине. Я предлагал цену, не учитывая какие-то заранее обдуманные пропорции или соотношения. Ход моих рассуждений я объясню позже.

В третьем случае цены товаров были указаны на ценниках, что, как правило, служит признаком фиксированной стоимости. В моем случае цена, написанная на ценнике, равнялась 350. Не успел я спросить, действительно ли это окончательная цена, как продавщица сказала, что может сделать мне скидку.

«Какой будет скидка?» — спросил я. «Отдам за 300» — ответила продавщица.

Скидка была не слишком большой, и я понял: цены на ценниках были не окончательными, но достаточно близкими к реальным. В любом случае вещь не досталась бы мне очень дешево. Теперь настала моя очередь предложить цену. Цены ниже 200 показались мне слишком низкими, поэтому я предложил 200. Продавщица согласилась на 280. Ее предложение несколько охладило мой пыл — новая цена была всего на 20 меньше предыдущей. Я предположил, что в итоге мы сойдемся на 250, но не хотел завершать торг слишком быстро. Я предложил 230 — чуть больше, чем 225.

Продавщица предложила 260. В конце концов я сказал, что 250 — моя последняя цена. Продавщица настаивала на 260, но я не сдавался. В итоге вещь досталась мне за 250.

После торга я спросил продавщицу, какую максимальную скидку она была готова предложить. Продавщица ответила: 25 % и добавила, что такова максимальная скидка в ее магазине, а в других местах, например на рынке, скидка могла быть намного больше. Таким образом, я провел неплохую сделку: вещь стоимостью 350 досталась мне за 250. Скидка оказалась больше 28 %.

На основе этих практических результатов я составил новую математическую модель торга. В значениях, приведенных в таблице, скрыто какое-то равновесие, а также они очевидно сходятся к итоговой цене, которая устроит и покупателя, и продавца. Какому закону подчиняется это равновесие? Предложим гипотезу: каждая цена представляет собой среднее значение двух последних предложенных цен. Иными словами, если x₀ — исходная цена, предложенная продавцом, x₁ — первая цена, предложенная покупателем, то общий член числовой последовательности, образующейся в ходе торга, задается формулой:

Это не что иное, как среднее арифметическое двух последних цен, упомянутых в торге. Приведенное выражение очень похоже на формулу общего члена в последовательности Фибоначчи. Сравним результаты трех предыдущих торгов с этой моделью, которую будем называть моделью средней цены.

Живительное сходство. Следовательно, в туристических местах торг можно достаточно точно описать моделью средней цены. Но как определить, к какому значению стремится цена в этой модели? На какой цене сойдутся покупатель и продавец в подобных ситуациях? Рассмотрим начальные цены трех предыдущих торгов и посмотрим, что произойдет.

Что общего у этих чисел и пар начальных значений цен (45, 20), (80000, 40000) и (350, 200)? Если мы посмотрим на соответствующие графики, то заметим явное сходство.

Чтобы понять, что происходит, рассмотрим формулу общего члена в этой модели.

Предел X, к которому сходятся члены последовательности цен, определяется двумя исходными ценами — ценой продавца (x₀) и ценой покупателя (x₁):

Вычислим X для начальных значений в трех предыдущих примерах и покажем, к какому значению стремится итоговая цена.

Обратите внимание, что во всех трех случаях пятый член настолько близок к предельному значению, что продолжать торговаться не имеет особого смысла. Возможно, именно поэтому при торге покупатель и продавец редко меняют цену больше четырех-пяти раз. Как мы уже говорили, участники реальных торгов не руководствуются описанной моделью сознательно, но эта модель настолько близка к тому, как происходит торг в действительности, что остается только удивляться способности людей интуитивно оценивать числа в поисках равновесного значения.

Абак

Первым вычислительным устройством в истории были человеческие руки. Говоря в компьютерных терминах, руки были первым программным обеспечением в истории. На пальцах одной руки можно досчитать до 5, на пальцах двух рук — до 10, а если использовать пальцы ног, то и до 20. Но если обозначать фалангами пальцев единицы, а пальцами — степени 10, то можно досчитать до десяти миллиардов.

Впрочем, этот метод непрактичен, поэтому его никто не использует.

В различных культурах Европы и Азии руки служили не только для счета, но и для вычислений, особенно для умножения. Чтобы умножить 6 на 8 на пальцах, нужно действовать следующим образом. Сначала досчитаем до 6, разгибая пальцы на одной руке, то есть досчитаем до 5 и загнем один палец. Один палец останется загнутым, 4 — разогнутыми. Аналогичным образом досчитаем до 8 на другой руке.

Три пальца останутся загнутыми, 2 — разогнутыми. Загнутыми оказалось 1 + 3 = 4 пальца — это будут десятки. Перемножим число разогнутых пальцев: 4·2 = 8 — это будут единицы. Результат равен 40 + 8 = 48.