Математическая планета. Путешествие вокруг света

В этом методе сочетаются сложение в уме и простое умножение небольших чисел, меньших пяти. Говоря математическим языком, умножение чисел, меньших либо равных 10, сводится к умножению по модулю 5. Эта система используется в повседневной жизни и даже в научной среде в ряде стран, объединенных общими культурными связями: в Индии, Индонезии, Ираке, Сирии и Северной Африке.

Но для действий с большими числами этот метод не очень удобен. Конечно, его можно улучшить и применять для умножения любых чисел, даже довольно больших, но, как это часто бывает, теоретические улучшения вовсе не обязательно будут достаточно эффективными для практического использования. Так что для действий с большими числами все же лучше использовать вычислительные устройства.

В одном из стихов главы 27 трактата Лао-цзы «Дао дэ цзин» говорится: тот, кто умеет считать, не пользуется чоу. Чоу — это инструмент для счета, состоявший из деревянной доски и нескольких бамбуковых палочек. Чоу был создан в V–III веках до н. э., так что это приспособление можно назвать одним из древнейших инструментов для вычислений.

Чоу представлял собой доску размером 8 x 8 клеток, в которых помещались бамбуковые палочки, обозначавшие числа. Изначально число палочек соответствовало числу единиц (до 10), но затем была создана упрощенная система, в которой поперечно лежащие палочки обозначали 5 или 10 единиц. Таким образом, числа от 1 до 5 обозначались вертикально расположенными палочками, числа 6, 7, 8 и 9 — горизонтальной палочкой (она обозначала 5), под которой выкладывалось необходимое количество вертикальных палочек. Число 10 было представлено горизонтальной палочкой, последующие десятки — дополнительными горизонтальными палочками.

Для обозначения чисел 60, 70, 80 и 90 вертикальные палочки выкладывались сверху, чтобы отличить их от 6, 7, 8 и 9. Возникал вопрос: как расположить палочки для обозначения сотен, тысяч и последующих степеней 10? Китайцы решили эту задачу при помощи доски, столбцы которой обозначали различные степени 10.

В этой системе нулю соответствовала пустая клетка.

Представление чисел 6104 и 84 071 на чоу.

При умножении в уме вычислялись суммы и произведения небольших чисел, представленных в таблице. Суть этого метода, как и метода, применявшегося на африканских рынках, заключалась в разложении чисел на разряды и неявном использовании свойства дистрибутивности, которое в те времена еще даже не имело названия. К примеру, чтобы умножить 285 на 43, между строками, где записывались числа, следовало оставить пустую строку для промежуточных расчетов. Следующие действия выполнялись в уме.

Суть метода заключалась в разложении 285 и 43 на сотни, десятки и единицы:

285·43 = (200 + 80 + 5)·(40 + 3) = 40·200 + 40·80 + 40·5 + 3·200 + 3·80 + 4·5 = 12 255.

Эта же доска использовалась для решения уравнений и систем уравнений. Кроме того, считается, что именно доска чоу стала прообразом записи чисел в столбцы.

Некоторые считают чоу предшественником абака, который был изобретен намного позже, примерно в XIV веке, и до сих пор используется во всем мире, особенно в странах Юго-Восточной Азии (в Сингапуре и Таиланде) и Восточной Азии (в Китае, Корее и Японии).

Абак представляет собой вытянутый прямоугольник, как правило, изготовленный из дерева, с поперечной перекладиной и множеством вертикально расположенных спиц, на которые насажены семь деревянных шариков. Два шарика расположены над поперечной перекладиной, оставшиеся пять — под ней. Число спиц составляет от восьми до 20 и более.

Учитывая, что на каждой спице с помощью шариков обозначаются единицы от 0 до 10 и каждая спица соответствует степени 10, на абаке с 20 спицами можно представлять очень большие числа — до 10²⁰ — 1.

Бамбук или дерево, из которых можно было изготовить инструменты для счета, подобные чоу и абаку, были доступны не во всех странах. Как вы уже знаете, шумеры несколько тысяч лет назад использовали для представления цифр и чисел камешки.

В Америке индейцы майя применяли систему счисления, схожую с китайской, и обозначали числа камнями. Также майя ввели особый символ для нуля. Намного южнее на Американском континенте можно встретить еще один необычный инструмент для счета, весьма непохожий на чоу и абак. Однако, подобно чоу и абаку, этот инструмент имел небольшие размеры и потому был очень удобным в переноске.

Речь — о кипу инков, первых приспособлениях для передачи информации о числах.

Кипу

Кипу — это пучки веревок, с помощью которых инки фиксировали числа. Анализ сохранившихся экземпляров позволяет понять, как именно производились подсчеты.

Абак содержит деревянные костяшки, надетые на рейку или спицу; в кипу же числа обозначались узлами. Каждый узел соответствовал цифре или числу в зависимости от положения на веревке и цвета.

Инкское кипу.