Математические головоломки профессора Стюарта

Оригинальная рукопись Архимеда не сохранилась, но эта копия (несомненно, результат целой серии копирований) была сделана византийским монахом около 950 г. н. э. В 1229 г. рукопись была расшита, а листы чисто (относительно) выскоблены вместе с листами по крайней мере шести других рукописей. Затем они были сложены пополам и использованы для записи 177-страничного христианского богослужебного текста – описания порядка религиозных служб.

В 1840-е гг. германский библеист Константин фон Тишендорф, наткнувшись на этот текст в Константинополе (ныне Стамбул), обратил внимание на какие-то слабо различимые математические записи и привез страницу из рукописи с собой. В 1906 г. датский ученый Йохан Гейберг установил, что часть палимпсеста составляет какое-то произведение Архимеда. Он сфотографировал его и в 1910 и 1915 гг. опубликовал кое-какие выдержки из документа. Вскоре после этого Томас Хит перевел опубликованный материал, но в то время он привлек мало внимания. В 1920-е гг. документом владел один французский коллекционер; к 1998 г. документ каким-то образом оказался в США и стал предметом судебного разбирательства между аукционным домом «Кристис» и Греческой православной церковью, которая утверждала, что в 1920 г. этот документ был похищен из монастыря. Судья принял решение в пользу «Кристис» на основании того, что промежуток времени между предполагаемым похищением и судебным иском по его поводу был слишком велик. Документ был приобретен анонимным покупателем (по сообщению журнала Der Spiegel, это был основатель компании Amazon Джефф Безос) за $2 млн. С 1999 по 2008 г. документ был подвергнут консервации в Художественном музее Уолтерса в Балтиморе и проанализирован группой специалистов по визуальной информации, целью которых было «проявить» скрытые записи.

Метод Архимеда можно объяснить (используя современный язык и обозначения) следующим образом. Начнем с шара радиусом 1, описанного вокруг него цилиндра и некоего конуса. Если поместить центр шара в точку x = 1 на действительной прямой, то радиус сечения в любой точке x от 0 до 2 равен √(x(2 − x)), а его масса пропорциональна π квадратам этой величины, а именно πx (2 – x) = 2πx – πx².

Далее рассмотрим конус, полученный вращением прямой y = x вокруг оси x, опять же для 0≤x≤2. Сечение этого конуса в точке x представляет собой круг радиусом x и площадью πx². Его масса пропорциональна этой величине с тем же коэффициентом пропорциональности, так что общая масса ломтика шара и ломтика конуса равна (2πx – πx²) + πx² = 2πx.

Поместим два эти ломтика в точку x = –1, на расстоянии 1 слева от начала координат. По закону рычага их в точности уравновешивает круг радиусом 1, помещенный на расстоянии x справа от той же точки.

А теперь сдвинем все ломтики шара и конуса в одну и ту же точку x = –1, так что вся их масса сосредоточится в этой единственной точке. Соответствующие (и уравновешивающие) круги имеют радиус 1 и располагаются на расстояниях от 0 до 2. Таким образом, они образуют цилиндр. Центр массы цилиндра находится в его середине, то есть в точке x = 1. Следовательно, по закону рычага,

масса шара + масса конуса = масса цилиндра,

а поскольку масса пропорциональна объему, то объем шара + объем конуса = объем цилиндра.

Однако Архимед уже знал, что объем конуса составляет одну треть объема цилиндра (одна треть площади основания на высоту, помните?), так что объем шара равен двум третям объема цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания (πr²), умноженной на высоту (2r), то есть 2πr³ Следовательно, объем шара равен ⅔ от этой величины, то есть (4/3)πr³.

Площадь поверхности сферы Архимед вывел при помощи аналогичной процедуры.

Он описал этот процесс геометрически, но нам проще следить за его аргументами, пользуясь современными обозначениями. Учитывая, что происходило это все около 250 г. до н. э. и что закон рычага открыл тоже Архимед, его достижения можно по праву назвать поразительными.

Откуда у леопарда пятна

W. L. Allen, I. C. Cuthill, N. E. Scott-Samuel, and R. J. Baddeley. Why the leopard got its spots: relating pattern development to ecology in felids, Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences 278 (2011) 1373–1380.

Многоугольники навсегда

Хотя может показаться, что эта фигура будет увеличиваться до бесконечности, на самом деле она всегда остается в пределах ограниченной области на плоскости: круга радиусом приблизительно 8,7.

Отношение радиусов окружности, описанной вокруг правильного n-угольника, и окружности, вписанной в него, равно sec π/n, где sec – это тригонометрическая функция секанс, а угол измеряется в радианах. (Если хотите измерять угол в градусах, замените π на 180°.) Таким образом, для любого n радиус окружности, описанной вокруг правильного n-угольника на рисунке, равен

S = sec π/3 × sec π/4 × sec π/5 × … × sec π/n[38].

Мы хотим узнать предел этого произведения при n, стремящемся к бесконечности. Возьмем логарифм: