Математические головоломки профессора Стюарта

Для этого сначала заверните руку внутрь – так чтобы тарелка оказалась примерно под мышкой. Затем продолжайте двигать тарелку по кругу, но руку поднимите над головой. Все естественным образом повернется в исходную позицию, и тарелка не упадет, несмотря на то что вы ее не придерживаете.

Видео трюка с тарелкой (суповой) можно найти в Интернете, к примеру на сайте

http://www.youtube.com/watch?v=Rzt_byhgujg,

где его называют балийским трюком с чашей и связывают с балийским танцем, где вместо тарелки используется чаша с жидкостью. Аналогичный филиппинский танец, где задействованы винные бокалы (по два на человека, по одному в каждой руке), можно увидеть на YouTube по адресу

http://www.youtube.com/watch?v=mOO_IOznZCQ

Движение руки при исполнении трюка может показаться достаточно простым, но имеет глубокий математический смысл. В частности, оно помогает специалистам по физике элементарных частиц разобраться в одном из любопытных квантовых свойств, который называют спином. В действительности квантовые частицы не вращаются на самом деле, как шарик на пальце жонглера, но существует число, которое называется «спин» и в определенном смысле обозначает что-то похожее. Спин может быть положительным и отрицательным, что аналогично вращению по часовой стрелке или против нее. У некоторых частиц спин выражается целым числом; эти частицы называются бозонами (помните охоту на бозон Хиггса?). Другие, что куда более необычно, имеют полуцелые спины, такие как 1/2 или 3/2. Такие частицы называются фермионами.

Половинки спина возникают благодаря одному очень странному явлению. Если взять частицу со спином 1 (или любым другим целым спином) и повернуть ее в пространстве на 360°, она окажется в прежнем состоянии. Но если взять частицу со спином ½ и повернуть ее в пространстве на 360°, то спин ее превратится в −½. Нужно повернуть частицу на 720°, на два полных оборота, чтобы получить прежний спин.

Математический смысл всего этого заключается в том, что существует «группа преобразований» под названием SU (2), которая описывает спин и действует путем преобразования квантовых состояний, и другая группа SO (3), которая описывает вращения в пространстве. Они родственны между собой, но не идентичны: каждое вращение в SO (3) соответствует двум различным преобразованиям в SU (2), противоположным одно другому. Такое отношение называется двойным накрытием. SU (2) как бы накручивается вокруг SO (3), но при этом совершает два оборота. Это немного напоминает резиновую ленту, дважды обернутую вокруг гимнастической палки.

Физики иллюстрируют эту идею посредством фокуса со струной Дирака, названной в честь великого квантового физика Поля Дирака. Идея реализуется во множестве разных форм; в одной из простейших реализаций используется лента, один конец которой закреплен неподвижно, а другой прикреплен к свободно плавающему в пространстве вращающемуся объекту – ротору. Лента имеет форму вопросительного знака. После поворота на 360° она не возвращается в первоначальное положение, а занимает положение, повернутое относительно первоначального на 180°. А вот второй полный оборот ротора (720°) не перекручивает ленту, а возвращает ее в начальное положение. Лента движется приблизительно так же, как рука с суповой тарелкой, разве что тарелка при этом слегка перемещается. Астронавт в невесомости мог бы проделать те же движения вокруг зафиксированной тарелки, сохраняя при этом ориентацию тела.

Компьютерная анимация Air On Dirac String, подготовленная Джорджем Фрэнсисом, Лу Кауфманом и Дэниелом Сандином (графика Криса Хартмана и Джона Харта) и располагающаяся по адресу http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/dirac.html, наглядно демонстрирует связь между фокусом со струной Дирака и филиппинским танцем с чашей вина.

Ту же идею можно использовать для связи электрического тока с неким вращающимся устройством, к примеру с колесом. На первый взгляд здесь возникает техническая проблема: чтобы лента могла распутываться, колесо должно висеть в воздухе без всякой поддержки. Однако в 1975 г. Д. А. Адамс разработал и запатентовал устройство, при помощи специального передаточного механизма позволяющее ленте беспрепятственно огибать колесо со всех сторон. Это устройство слишком сложно, чтобы описывать его здесь, но тот, кого это заинтересовало, может заглянуть в статью: C. L. Strong, The Amateur Scientist, Scientific American (December 1975) 120–150.

Математические хайку