Математические головоломки профессора Стюарта

Здесь числа под горизонтальными фигурными скобками указывают, сколько стрелок стоит над соответствующей скобкой. Смотреть нужно снизу вверх, начиная с самой нижней строки: в предпоследнем (63-м) слое стоит 3↑↑↑↑3 стрелки. Далее, число с таким количеством стрелочек дает нам число стрелочек в следующем, 62-м слое. А число с таким количеством стрелочек – число стрелочек в 61-м слое!.. Извините, ни одно из этих чисел нельзя записать в стандартной десятичной нотации. В этом отношении они намного хуже гуголплекса. Но в этом и заключается их прелесть…

Это и есть число Грэма, и оно поистине громадно. Более чем. Величина, найденная Грэмом и Ротшильдом, меньше, но по-прежнему до безобразия велика, и объяснять ее сложнее, так что я не буду этим заниматься.

Как ни смешно, специалисты, работающие в этой области, считают, что это число можно сделать намного меньше. А именно, что годится даже n = 13. Но это пока не доказано. Грэм и Ротшильд доказали, что n не может быть меньше 6; Джефф Эксоо поднял эту величину до 11 в 2003 г.; наилучший результат на сегодняшний день гласит, что n не должно быть меньше 13, что доказал Джером Баркли в 2008 г.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

В моей голове это не укладывается

Когда ученые говорят о больших числах, таких как возраст Вселенной (13,798 млрд лет, или около 4,35 секстиллиона секунд) или расстояние до ближайшей звезды (0,237 светового года, или около 2,24 трлн км), мы, как правило, произносим что-нибудь вроде «в голове не укладывается». То же можно сказать об издержках глобального финансового кризиса, составивших, по одной из верхних оценок, для экономики Великобритании 1,162 трлн[25] фунтов стерлингов. Или, скажем, круглым счетом триллион, 10¹² фунтов стерлингов.

Миллионы, миллиарды, триллионы – для многих несведущих людей эти слова очень похожи, да и означают примерно одно и то же: они слишком велики и просто в голове не укладываются.

Неспособность человека осознать и «прочувствовать» большие числа сказывается на наших взглядах во многих областях, в первую очередь в политике. Когда Эйяфьятлайокудль в Исландии начал плеваться вулканическим пеплом и вынудил отстаиваться на земле большую часть британских самолетов, было много протестов, особенно со стороны авиалиний. (Мне и самому не повезло: вместо того чтобы полететь в Эдинбург, мне пришлось срочно менять планы и ехать на автомобиле.) Было подсчитано, что простои обходились индустрии авиаперевозок в 100 млн фунтов в день: 10⁸ фунтов.

Говоря по справедливости, эти потери выпали на долю относительно небольшого числа компаний. Но общее возмущение превосходило, пожалуй, по масштабу реакцию на финансовый кризис.

Секрет сравнения больших чисел заключается в том, что вам не обязательно добиваться, чтобы они помещались у вас в голове. Мало того, лучше, наверное, их туда и не пускать. Все, что нужно, сделает за вас математика – достаточно будет даже базовой арифметики. К примеру, можно спросить себя, как долго должен продлиться запрет на полеты, чтобы экономические потери от него сравнялись с потерями от банковского кризиса. Расчет показывает:

цена банковского кризиса: 10¹² фунтов;

цена одного вулканического дня: 10⁸ фунтов;

10¹²/10⁸ = 10⁴ дней = 27 лет.

Этот период представляется мне в высшей степени наглядной величиной: очевидно, что 27 лет – это намного дольше, чем один день. Поэтому я вполне могу осознать, что запрет на полеты должен был бы продолжаться 27 лет, чтобы потери от него сравнялись с экономическим ущербом от банковского кризиса, не обращая внимания на то, что большие числа, участвующие в расчете, не укладываются у меня в голове.

Именно для этого и нужна математика. Не нужно, чтобы вещи укладывалисьу вас в голове: лучше их посчитать.

Дело водителя с уровнем выше среднего Из мемуаров доктора Ватсапа

Я с отвращением бросил газету на стол.

– Послушайте, Сомс… Вы только взгляните на эту нелепую статистику!

Хемлок Сомс хмыкнул и сосредоточился на раскуривании трубки.

– Семьдесят пять процентов кэбменов уверены, что их способности к управлению кэбом выше средних!

Сомс поднял голову.

– Что же в этом нелепого, Ватсап?

– Ну, я… Сомс, но это же просто невозможно! Все они, должно быть, имеют о себе завышенное мнение!

– Почему?

– Потому что среднее должно быть в середине.

Детектив вздохнул.

– Обычное заблуждение, Ватсап.

– Заблуж… что здесь не так?

– Да почти все, Ватсап. Представьте, что 100 человек оценили по шкале от 0 до 10. Если 99 из них получили оценку 10, а один – оценку 0, какое будет среднее?

– Э-э… 990/100… это будет 9,9, Сомс.

– И сколько из них окажется выше среднего?

– Э-э… 99.

– Я же говорю, заблуждение.

Но меня непросто было отвлечь.

– Но все они лишь чуть-чуть превосходят среднее, Сомс, да и данные не слишком типичны.