Математические головоломки

12 · 63 = 21 · 36

12 · 84 = 21 · 48

13 · 62 = 31 · 26

13 · 93 = 31 · 39

14 · 82 = 41 · 28

23 · 64 = 32 · 46

23 · 96 = 32 · 69

24 · 63 = 42 · 36

24 · 84 = 42 · 48

26 · 93 = 62 · 39

34 · 86 = 43 · 68

36 · 84 = 63 · 48

46 · 96 = 64 · 69

Пифагоровы числа

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 9). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.

Рис. 9

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3: 4: 5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как

3+ 4^{2 2} = 5².

Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, b, с, удовлетворяющих соотношению

a² + b² = c².

Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».

Ясно, что если а, b, с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра, рb, рс, где р — целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).

Покажем, что в каждой из таких троек а, b, с один из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и b четны, то четным будет число a² + b², а значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а, b, с не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» а, b нечетен.

Остается еще одна возможность: оба «катета» нечетные, а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид

2х + 1 и 2y + 1,

то сумма их квадратов равна

4x²+ 4x+ 1+ 4y²+ 4y+ 1 = 4 · (x²x+ y² + y)+ 2,

т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа; иначе говоря, наши три числа – не пифагоровы.

Итак, из «катетов» а, b один четный, а другой нечетный. Поэтому число a² + b² нечетно, а значит, нечетна и «гипотенуза» с.

Предположим, для определенности, что нечетным является «катет» а, а четным b. Из равенства

a² + b² = c²

мы легко получаем:

a² = c² – b² = (c + b)(c – b).

Множители с + b и с – b, стоящие в правой части, взаимно просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель, отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма

(c + b) + (c – b) = 2c,

и разность

(c + b) – (c – b) = 2b,

и произведение

(c + b)(c – b) = a²,

т. е. числа 2с, 2b и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют числа а, b, с, чего, однако, не может быть. Полученное противоречие показывает, что числа с + b и с – b взаимно просты.

Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое из них является квадратом, т. е.

Решив эту систему, найдем:

Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид

где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа. Читатель легко может убедиться и в обратном: при любых нечетных m и n написанные формулы дают три пифагоровых числа а, b, с.

Вот несколько троек пифагоровых чисел, получаемых при различных m и n:

при m = 3, n = 1 ····· 3² + 4² = 5²,

при m = 5, n = 1 ····· 5² + 12² = 13²,

при m = 7, n = 1 ····· 7² + 24² = 25²,

при m = 9, n = 1 ····· 9² + 40² = 41²,

при m = 11, n = 1 ····· 11² + 60² = 61²,

при m = 13, n = 1 ····· 13² + 84² = 85²,

при m = 5, n = 3 ····· 15² + 8² = 17²,

при m = 7, n = 3 ····· 21² + 20² = 29²,

при m = 11, n = 3 ····· 33² + 56² = 65²,

при m = 13, n = 3 ····· 39² + 80² = 89²,

при m = 7, n = 5 ····· 35² + 12² = 37²,

при m = 9, n = 5 ····· 45² + 28² = 53²,

при m = 11, n = 5 ····· 55² + 48² = 73²,

при m = 13, n = 5 ····· 65² + 72² = 97²,

при m = 9, n = 7 ····· 63² + 16² = 65²,

при m = 11, n = 7 ····· 77² + 36² = 85².

(Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители, или содержат числа, бóльшие ста.)

Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей, которые мы перечисляем далее без доказательств:

1) один из «катетов» должен быть кратным трем;