Математические головоломки

Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, но отнюдь еще не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными х и у (вспомним, что это – числа кредитных билетов). Вот почему алгебра разработала метод решения подобных «неопределенных» уравнений. Заслуга введения их в алгебру принадлежит первому европейскому представителю этой науки, знаменитому математику древности Диофанту, отчего такие уравнения часто называют «диофантовыми».

РЕШЕНИЕ

На приведенном примере покажем, как следует решать подобные уравнения.

Надо найти значения х и у в уравнении

3х – 5y = 19,

зная при этом, что х и у — числа целые и положительные.

Уединим то неизвестное, коэффициент которого меньше, т. е., получим:

3х = 19 + 5y,

откуда

Так как х, 6 и у — числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что  есть также целое число. Обозначим его буквой t. Тогда

х = 6 + y + t,

где

и, значит,

3t = 1 + 2у, 2y = 3t – 1.

Из последнего уравнения определяем у:

Так как у и t – числа целые, то и  должно быть некоторым целым числом t₁. Следовательно,

y = t + t₁,

причем

откуда

2t₁ = t – 1 и t = 2t₁ + 1.

Значение t = 2t₁ + 1 подставляем в предыдущие равенства:

y = t + t₁ = (2t₁ + 1) + t₁ = 3t₁ + 1,

х = 6 + y + t = 6 + (3t₁ + 1) + (2t₁ + 1) = 8 + 5t₁.

Итак, для х и у мы нашли выражения^[3]

x = 8 + 5t₁,

y = 1 + 3t₁.

Числа х и у, мы знаем, – не только целые, но и положительные, т. е. бóльшие чем 0. Следовательно,

8 + 5t₁ > 0,

1 + 3t₁ > 0.

Из этих неравенств находим:

Этим величина t₁ ограничивается; она больше чем  (и, значит, подавно больше чем ). Но так как t₁ – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:

t₁ = 0, 1, 2, 3, 4, …

Соответствующие значения для х и у таковы:

x = 8 + 5t₁ = 8, 13, 18, 23, …,

y = 1 + 3t₁ = 1, 4, 7, 10, …

Теперь мы установили, как может быть произведена уплата:

вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:

8 · 3–5 = 19,

либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки:

13 · 3–4 · 5 = 19

и т. д.

Теоретически задача имеет бесчисленный ряд решений, практически же число решений ограничено, так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчисленного множества кредитных билетов. Если, например, у каждого всего по 10 билетов, то расплата может быть произведена только одним способом: выдачей 8 трехрублевок и получением 5 рублей сдачи. Как видим, неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные пары решений.

Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно решить ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у покупателя только пятирублевки, а у кассира только трехрублевки. В результате получится такой ряд решений:

x = 5, 8, 11, …,

y = 2, 7, 12, …

Действительно,

5 · 5–2 · 3 = 19,

8 · 5–7 · 3 = 19,

11 · 5 – 12 · 3 = 19,

. . . . . . . .

Мы могли бы получить эти результаты также и из готового уже решения основной задачи, воспользовавшись простым алгебраическим приемом. Так как давать пятирублевки и получать трехрублевки все равно, что «получать отрицательные пятирублевки» и «давать отрицательные трехрублевки», то новый вариант задачи решается тем же уравнением, которое мы составили для основной задачи:

3х – 5y = 19,

но при условии, что x и у — числа отрицательные. Поэтому из равенств

x = 8 + 5t₁,

y = 1 + 3t₁

мы, зная, что х < 0 и у < 0, выводим:

8 + 5t₁ < 0,

1 + 3t₁ < 0,

и, следовательно,

Принимая t₁ = –2, –3, –4 и т. д., получаем из предыдущих формул следующие значения для х и у:

t₁ = –2, –3, –4,

x = –2, –7, –12,

y = –5, –8, –11.

Первая пара решений, х = –2, у = –5, означает, что покупатель «платит минус 2 трехрублевки» и «получает минус 5 пятирублевок», т. е. в переводе на обычный язык – платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истолковываем и прочие решения.

Покупка почтовых марок

ЗАДАЧА

Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок – копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?

РЕШЕНИЕ

В этом случае у нас имеется два уравнения с тремя неизвестными:

x + 4y + 12z = 100,

x + y + z = 40,

где x — число копеечных марок, у — 4-копеечных, z — 12-копеечных.

Вычитая из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:

3y + 11z = 60.

Находим у:

Очевидно,  – число целое. Обозначим его через t. Имеем:

y = 20–11t,

z = 3t.

Подставляем выражения для у и z во второе из исходных уравнений:

x + 20–11t + 3t = 40;

получаем:

x = 20 + 8t.

Так как x ≥ 0, y ≥ 0 и z ≥ 0, то нетрудно установить границы для t:

откуда заключаем, что для t возможны только два целых значения:

t = 0 и t = 1.

Соответствующие значения х, у и z таковы:

Проверка:

20 · 1 + 20 · 4 + 0 · 12 = 100,

28 · 1 + 9 · 4 + 3 · 12 = 100.

Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами (а если потребовать, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, – то только одним способом).

Следующая задача – в том же роде.

Покупка фруктов

ЗАДАЧА