Математические головоломки

988 · 988 = (988 + 12) ·² (988 – 12) + 12² = 1000 · 976 + 144 = 976 144.

Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:

На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

27² = (27 + 3) · (27 – 3) + 3² = 729,

63² = 66 · 60 + 3² = 3969,

18² = 20 · 16 + 2² = 324,

37² = 40 · 34 + 3² = 1369,

48² = 50 · 46 + 2² = 2304,

54² = 58 · 50 + 4² = 2916.

Далее, умножение 986 · 997 выполняется так:

986 · 997 = (986 – 3) · 1000 + 3 · 14 = 983 042.

На чем основан этот прием? Представим множители в виде

(1000 – 14) · (1000 – 3)

и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

1000 · 1000–1000 · 14 – 1000 · 3 + 14 · 3.

Делаем преобразования:

1000 · (1000 – 14) – 1000 · 3 + 14 · 3 = 1000 · 986 – 1000 · 3 + 14 · 3 = 1000 · (986 – 3) + 14 · 3.

Последняя строка и изображает прием вычислителя.

Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение

783 · 787

выполняется так:

78 · 79 = 6162; 3 · 7 = 21;

результат:

616 221.

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

(780 + 3) · (780 + 7) = 780 · 780 + 780 · 3 + 780 · 7 + 3 · 7 = 780 · 780 + 780 · 10 + 3 · 7 = 780 · (780 + 10) + 3 · 7 = 780 · 790 + 21 = 616 200 + 21.

Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще:

783 · 787 = (785 – 2) · (785 + 2) = 785² – 4 = 616 225 – 4 = 616 221.

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:

35²; 3 · 4 = 12. Отв. 1225.

65²; 6 · 7 = 42. Отв. 4225.

75²; 7 · 8 = 56. Отв. 5625.

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.

Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так:

10a + 5.

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

100a² + 100а + 25 = 100а · (а + 1) + 25.

Выражение а(а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 – все равно, что приписать к числу 25.

Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:

и т. п.

Цифры 1, 5 и 6

Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.

Например, 46² = 2116; 46³ = 97 336.

Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.

Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:

10а + 6, 10b + 6 и т. д.,

где а и b — целые числа.

Произведение двух таких чисел равно

100аb + 60b + 60а + 36 = 10 · (10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 = 10 (10аb + 6b + 6а + 3) + 6.

Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.

Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.

Сказанное дает нам право утверждать, что, например,

Числа 25 и 78

Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.

Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:

100a + 76, 100b + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида, получим:

10 000аb + 7600b + 7600а + 5776 = 10 000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 = 100 · (100аb + 76b + 76а + 57) + 76.

Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.

Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:

376² = 141 376,

576³ = 191 102 976 и т. п.

Составные числа

Число так называемых простых чисел, т. е. целых чисел, бóльших единицы, не делящихся без остатка ни на какие другие целые числа, кроме единицы и самих себя, бесконечно велико.

Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …, ряд их простирается без конца. Вклиниваясь между числами составными, они разбивают натуральный ряд чисел на более или менее длинные участки составных чисел. Какой длины бывают эти участки? Следует ли где-нибудь подряд, например, тысяча составных чисел, не прерываясь ни одним простым числом?

Можно доказать, – хотя это и может показаться неправдоподобным, – что участки составных чисел между простыми бывают любой длины. Нет границы для длины таких участков: они могут состоять из тысячи, из миллиона, из триллиона и т. д. составных чисел.

Для удобства будем пользоваться условным символом п! который обозначает произведение всех чисел от 1 до n включительно. Например 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5. Мы сейчас докажем, что ряд

[(n+1)!+2], [(n+1)!+3], [(n+1)!+4], …

до [(n+1)!+n+1] включительно

состоит из n последовательных составных чисел.