Математические головоломки

Это означает лишь, что двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, не существует и что составленные уравнения противоречат одно другому.

В самом деле: умножив обе части первого уравнения на 9, мы найдем из него:

9y – 9x = 36,

а из второго (после раскрытия скобок и приведения подобных членов):

9у – 9x = 27.

Одна и та же величина 9у – 9х согласно первому уравнению равна 36, а согласно второму 27. Это безусловно невозможно, так как 36 ≠ 27.

Подобное же недоразумение ожидает решающего следующую систему уравнений:

Разделив первое уравнение на второе, получаем:

ху = 2,

а сопоставляя полученное уравнение со вторым, видим, что

т. е. 4 = 2. Чисел, удовлетворяющих этой системе, не существует. (Системы уравнений, которые, подобно сейчас рассмотренным, не имеют решений, называются несовместными.)

II. С иного рода неожиданностью встретимся мы, если несколько изменим условие предыдущей задачи. Именно будем считать, что цифра десятков не на 4, а на 3 меньше, чем цифра единиц, а в остальном оставим условие задачи тем же. Что это за число?

Составляем уравнение. Если цифру десятков обозначим через х, то число единиц выразится через х + 3. Переводя задачу на язык алгебры, получим:

Сделав упрощения, приходим к равенству 27 = 27.

Это равенство неоспоримо верно, но оно ничего не говорит нам о значении х. Значит ли это, что чисел, удовлетворяющих требованию задачи, не существует?

Напротив, это означает, что составленное нами уравнение есть тождество, т. е. что оно верно при любом значении неизвестного х. Действительно, легко убедиться в том, что указанным в задаче свойством обладает каждое двузначное число, у которого цифра единиц на 3 больше цифры десятков:

14 + 27 = 41,

47 + 27 = 74,

25 + 27 = 52,

58 + 27 = 85,

36 + 27 = 63,

69 + 27 = 96.

III. Найти трехзначное число, обладающее следующими свойствами:

1) цифра десятков 7;

2) цифра сотен на 4 меньше цифры единиц;

3) если цифры этого числа разместить в обратном порядке, то новое число будет на 396 больше искомого.

Составим уравнение, обозначив цифру единиц через х:

100x + 70 + x – 4 – [100(x – 4) + 70 + x] = 396.

Уравнение это после упрощений приводит к равенству

396 = 396.

Читатели уже знают, как надо толковать подобный результат. Он означает, что каждое трехзначное число, в котором первая цифра на 4 меньше третьей^[2], увеличивается на 396, если цифры поставить в обратном порядке.

До сих пор мы рассматривали задачи, имеющие более или менее искусственный, книжный характер; их назначение – помочь приобрести навык в составлении и решении уравнений. Теперь, вооруженные теоретически, займемся несколькими примерами задач практических – из области производства, обихода, военного дела, спорта.

В парикмахерской

ЗАДАЧА

Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, что такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

– Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

– Уж сколько раствора испортили из-за этого! – добавил другой.

– В чем задача? – осведомился я.

– У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12-процентный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?

РЕШЕНИЕ

Задачу можно решить и арифметически, но язык алгебры приводит здесь к цели проще и быстрее. Пусть для составления 12-процентной смеси требуется взять х граммов 3-процентного раствора и у граммов 30-процентного. Тогда в первой порции содержится 0,03x граммов чистой перекиси водорода, во второй 0,3y, а всего

0,03x + 0,3y.

В результате получается (х + у) граммов раствора, в котором чистой перекиси должно быть 0,12 (х + у). Имеем уравнение

0,03х + 0,3у = 0,12(х + у).

Из этого уравнения находим х = 2y, т. е. 3-процентного раствора надо взять вдвое больше, чем 30-процентного.

Трамвай и пешеход

ЗАДАЧА

Идя вдоль трамвайного пути, я заметил, что каждые 12 минут меня нагоняет трамвай, а каждые 4 минуты я сам встречаю трамвай. И я и трамваи движемся равномерно.

Через сколько минут один после другого покидают трамвайные вагоны свои конечные пункты?

РЕШЕНИЕ

Если вагоны покидают свои конечные пункты каждые х минут, то это означает, что в то место, где я встретился с одним из трамваев, через х минут приходит следующий трамвай. Если он догоняет меня, то в оставшиеся 12 – х минут он должен пройти тот путь, который я успеваю пройти в 12 минут. Значит, тот путь, который я прохожу в 1 минуту, трамвай проходит  в минут.

Если же трамвай идет мне навстречу, то он встретит меня через 4 минуты после предыдущего, а в оставшиеся (x – 4) минуты он пройдет тот путь, который я успел пройти в эти 4 минуты. Следовательно, тот путь, который я прохожу в 1 минуту, трамвай проходит в  минуты. Получаем уравнение