Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

На самом деле есть несколько важных фактов, которые здесь использовались без доказательства. Во-первых, не совсем очевидно, что изложенный метод дает минимально возможное количество мутаций, необходимые для построения дерева. Хотя это должно казаться очевидным и на самом деле верно, что нет возможности назначать основания внутренним вершинам таким способом, который потребует меньшего количества мутаций, но не будем углубляться в строгое доказательство этого средствами комбинаторной теории графов. Как увидите в упражнениях, могут существовать такие разметки оснований на внутренних вершинах, которые не согласуются с разметками, производимыми данным методом, но при этом достигается то же самое минимальное количество мутаций. Это означает, что невозможно интерпретировать изложенный метод вычисления показателя экономичности как однозначную «реконструкцию» последовательности предков таксонов.

Во-вторых, показатель экономии дерева не зависит от расположения корня. Если используется одно и то же дерево, но корень перемещается, то данный метод подсчета может привести к тому, что поставим разные основания или наборы оснований в каждой из вершин. Тем не менее, можно доказать, что будет получен тот же коэффициент экономии. Таким образом, в то время как процедура подсчета требует временной вставки корня, в действительности можно говорить о пригодности некорневого дерева. Однако всегда можно добавить внешнюю вершину, как обсуждалось в предыдущих разделах, если требуется такое расположение корня.

Наконец, поскольку метод не позволяет однозначно восстановить последовательности на внутренних вершинах, то нет возможности узнать, вдоль каких ребер происходили мутации. Это означает, что не получится определить точную длину ребра, используя количество мутаций, происходящих при переходе вдоль него. Таким образом, метод максимальной экономии – это метод, который фокусируется только вокруг использования некорневых топологических деревьев для отыскания связей таксонов.

Теперь, когда получили оценку экономии дерева на рисунке 5.18, давайте рассмотрим другое дерево, на рисунке 5.19, которое может относиться к тем же 1-базовым последовательностям. Имейте в виду, дерево рисуется с корнем только для удобства. Применяя предыдущий метод для получения маркировки на внутренних вершинах, приходим к тому, что это дерево имеет оценку экономии 2; то есть необходимы только две мутации. Таким образом, дерево на рисунке 5.19 является более экономным, чем на рисунке 5.18.

Рисунок 5.19. Более экономное дерево.

Чтобы найти наиболее экономное дерево для этих таксонов, нужно было бы рассмотреть все 15 возможных топологий некорневых деревьев с 5 таксонами и вычислить минимальное количество мутаций для каждой. Вместо того, чтобы перебирать 13 оставшихся деревьев, давайте попробуем подумать о том, какие деревья, вероятно, будут иметь низкие показатели экономии. Если оценка низкая, то  и , вероятно, будут рядом друг с другом, как  и , но  может быть где угодно.

Вопросы для самопроверки:

– Для 5 таксонов нарисуйте несколько некорневых деревьев, которые топологически отличаются от изображенных на рисунке 5.19, но также имеют оценку экономии 2.

– Объясните, почему ни одно дерево, относящееся к этим 5 таксонам, не может иметь оценку экономии 1. Подсказка: если бы для дерева требовалась только одна мутация, то как выглядели бы основания на листьях?

Существует несколько деревьев (на самом деле, пять деревьев имеют оценку экономии 2), которые можно считать наиболее экономными. Когда это происходит, использование метода экономии требует отчета обо всех найденных деревьях, которые достигают минимального балла, потому что все они одинаково хороши согласно сформулированным критериям их выбора.

При работе с реальными данными последовательности, конечно, нужно подсчитать количество мутаций, необходимых для дерева, среди всех сайтов в последовательностях. Это можно сделать так же, как и раньше, просто обрабатывая каждый сайт параллельно. Пример приведём на рисунке 5.20.

Рисунок 5.20. Вычисление оценки экономии для дерева на трех участках.

Переходя вверх по дереву, начиная с 2 последовательностей таксонов, ATC и ACC в крайнем левом углу, видим, что там не нужны мутации ни в первом, ни в третьем узлах, но понадобятся мутации во втором. Таким образом, количество мутаций теперь равно 1, а вершина предка помечена, как показано на рисунке. На вершине, где соединяется ребро из третьего таксона, обнаруживаем, что первый участок нуждается в мутации, второй нет, а третий снова нуждается. Это увеличивает количество мутаций на 2, чтобы суммарно дать 3. Наконец, в корне обнаруживаем, что нужна мутация только во втором месте, для окончательной оценки экономии 4.