Математические модели в естественнонаучном образовании

Модель  иногда называют дискретной логистической моделью или моделью Рикера. Такая модель роста популяции, названная в честь её первооткрывателя Билла Рикера, была предложена в далёком 1954 году. Легко вычислить точки равновесия модели, ими являются  и . Можно дополнительно проанализировать эту модель, нарисовав паутинную диаграмму и вычислив стабильность равновесий, как делалось неоднократно в предыдущих разделах.

Можно возразить против подхода к моделированию в формате «кролик из шляпы»; без объяснений, откуда взялось уравнение модели Рикера. Но ниже будет дано одно пояснение, важно понимать, что действительно важно, так это то, какие качественные изменения демонстрирует функция на графике, насколько реалистично такое поведение. Если странная формула дает нужный график, то этого уже достаточно для оправдания ей использования.

Для более полного обоснования адекватности модели Рикера вернемся к графику функции изменения численности населения на душу населения  как функции от , что в свою очередь стимулировало развитие логистической модели. Единственная причина выбора формулы

 заключалась в моделировании нисходящей тенденции, показанной на рисунке 1.1.

Как улучшить такую модель? Во-первых, изменение численности населения на душу населения не может быть меньше -1, потому что это будет означать более одной смерти на душу населения, но «Расстреливать два раза уставы не велят». Это означает, что график должен больше походить на рисунок 1.11.

Рисунок 1.11. Темпы роста на душу населения для новой модели.

Поскольку график выглядит как экспоненциально убывающая кривая, перемещенная вниз на одну единицу, это приводит к следующей формуле: , при некоторых положительных значениях  и . Чтобы получить классическую формулу из модели Рикера, выполним замену переменных. Пусть  и , тогда с новыми параметрами  и  модель принимает вид . Теперь элементарными преобразованиями можно прийти к формуле Рикера: . В этой формуле  как и прежде следует интерпретировать как пропускную способность или грузоподъёмность логистической модели, потому что если , то ; а если , то . Конечная внутренняя скорость роста, однако, равна , а не просто , хотя для достаточно малого  эти величины примерно одинаковы.

Конечно, кривая  не обязана быть экспоненциально убывающей.  Чтобы точнее смоделировать динамику популяции, нужно собрать данные о том, как численность популяции в момент времени  зависит от численности популяции в момент времени . Тогда можно будет построить точки  и найти формальное выражение функции, график которой через них проходит. Поскольку модель Рикера имеет два параметра,  и , то изменяя каждый из них можно сделать так, чтобы теоретическая кривая достаточно хорошо покрывалась эмпирическими данными.

Другая часто используемая модель имеет вид  . Физическое значение чисел ,  и  в этой модели неочевидно, просто уравнения с тремя параметрами позволяют иметь больше свободы в выборе формы кривой и лучше соответствовать эмпирическим данным.

Представленные на рисунке 1.12 графики демонстрируют функциональную зависимость модели   при двух различных вариантах значений параметров. Эти два графика описывают совершенно разную динамику населения. График слева, который асимптотически стремится к горизонтальной оси, представляет собой чистую конкуренцию за ресурсы между людьми, где каждый человек просто получает меньше ресурсов, если популяция очень велика. Таким образом, в рамках данной модели члены популяции страдают от наличия большой популяции вокруг. Следовательно, большое значение , вероятно, приведет к гораздо меньшему значению для  и чем больше , тем меньше будет .

Рисунок 1.12. Две модели  с разными значениями параметров.

График справа, который асимптотически стремится к прямой параллельной горизонтальной оси, представляет собой своеобразное соревнование, по условиям которого если численность популяция превышает свою пропускную способность, то некоторые особи получают все ресурсы, а другие не получают ничего. Поэтому любое большое значение  может привести примерно к тому же значению . Конечно, многие популяции демонстрируют поведение, сочетающее аспекты этих двух крайних типов конкуренции, а поэтому описываются графиками промежуточного варианта.

Задачи для самостоятельного решения:

1.4.1. Для дискретной популяционной модели относительный темп роста определяется как .

а. Заполните пропущенные места: начиная с некоторого значения , если относительный темп роста окажется больше 1, то популяция будет _________ в течение следующего временного интервала, тогда как если он будет меньше 1, то популяция _________.

б. Какой смысл имеет относительный темп роста равный нулю? А отрицательный?

в. Приведите выражения для вычисления относительного темпа роста для геометрических и логистических моделей населения, а также других моделей пройденного раздела.

г. Постройте график каждой из относительных скоростей роста, которые выведите в части (в) как функции от . Возможно, придется задать несколько конкретных значений параметров, чтобы нарисовать графики.