Математические модели в естественнонаучном образовании

Как и в случае с собственными значениями, вычисление собственных векторов для матриц размерности 3 x 3 или более выполняется аналогичным образом как для 2 x 2 случаев, хотя возникают некоторые дополнительные трудности. Оставим обсуждение деталей для курса линейной алгебры и вместо этого научимся использовать MATLAB для таких вычислений.

Существуют различные компьютерные методы расчета. На самом деле, MATLAB и другие компьютерные пакеты на самом деле не вычисляют собственные векторы и собственные значения так, как описано выше. Поскольку вычисление собственных векторов и значений очень важно не только для учебных моделей, но и для множества открытых проблем в науке и технике, были давно разработаны и включены во многие стандартные пакеты программного обеспечения довольно продвинутые сложные методы.

Хотя на самом деле не будем погружаться в детали каких-либо методов, используемых этими пакетами, поверхностно опишем один из подходом, обсудив ниже «степенной метод».

Зададим матрицу перехода , выберем любой начальный вектор  и вычислим . Согласно сильной эргодической теореме, если  является доминирующим собственным значением  с соответствующим собственным вектором , то должны ожидать, что  будет ближе к , чем было . Но поскольку еще не знаем значения , нужно каким-то образом скорректировать , чтобы учесть фактор изменения его длины. Один из способов сделать это – просто разделить каждую компоненту вектора  на самую большую из его компонент, чтобы получить новый вектор, который назовём . Это означает, что  будет иметь хотя бы одну компоненту равную 1 и будет «ближе» чем  к тому вектору, который в пределе окажется собственным. Так на рисунке 2.4 красный «приблизился» к синему в результате трансформации векторов пространства.

Затем можно повторить процесс, используя  вместо  , чтобы получить еще лучшее приближение собственного вектора. Конечно, затем предстоит повторять процесс снова и снова, пока не обнаружим, что приближения в собственному вектору меняются незначительно.