Математические модели в естественнонаучном образовании

2.3.10. Докажите, что модуль комплексных чисел удовлетворяет свойству мультипликативности нормы .

Проектные работы:

1. Рассмотрим конкретную модель Лесли с двумя возрастными группами. После интерпретации каждого элемента матрицы исследуйте поведение вашей модели экспериментально, используя MATLAB для различных начальных популяций, включая собственные векторы матрицы. Объясните, как собственные значения и собственные векторы отражаются в поведении, которое видите при построении графиков популяций с течением времени. Повторите исследование для нескольких других матриц.

Рекомендации

 Начните с модели Лесли , используя последовательность команд MATLAB, например:

P=[1/8 6; 1/5 0]

x=[10; 990]

xhistory=x

x=P*x, xhistory=[xhistory x]

x=P*x, xhistory=[xhistory x]

x=P*x, xhistory=[xhistory x]

…

plot(xhistory')

 Для различных вариантов начальных популяций опишите, что, по-видимому, происходит с популяциями с течением времени. Численность членов в каждой группе становится больше или меньше? Колеблются ли они? Рассчитайте соотношение незрелых особей к взрослым в разное время. Как меняется это соотношение? Повторите эту работу с несколькими различными вариантами начального вектора. Качественно опишите все виды поведения, которые увидите.

 Вычислите собственные векторы и собственные значения матрицы , введя:

[S,D]= eig(A)

Используйте первый собственный вектор в качестве начального вектора, введя:

x=S(:,1)

и проведите численный эксперимент, включая построение графика. Повторите вышесказанное, используя второй собственный вектор, полученный командой:

x=S(:,2)

Опишите поведение модели в случае взятия этих значений в качестве начальных векторов. Чем будет отличаться поведение? Что осталось прежним? Как собственные значения влияют на такое поведение?

 Как поведение, которое наблюдается при использовании собственных векторов в качестве начальных, отражается на поведении, которое видели при других начальных векторах?

 Повторите все вышесказанное на нескольких других моделях, таких как: , , .

Объясните интуитивно, почему каждая из этих моделей демонстрирует то или иное поведение. Затем объясните в терминах собственных значений и собственных векторов матрицы, почему происходит такое поведение.

 Охарактеризуйте возможное поведение этих -матричных моделей с точки зрения знака и абсолютной величины собственных значений.

2. Модели Лесли и Ашера можно использовать для разработки методических рекомендаций, чтобы помочь сокращающимся популяциям восстановиться. Хорошо известным примером этого было исследование популяций морских черепах, которое выполнили Краус и его последователи в 1987 году. В проведённом исследовании с математической точностью обосновывалась необходимость использования специальных устройств для исключения попадания черепах в сети с креветками.

Подобное вмешательство может быть разработано таким образом, чтобы воздействовать на любой из элементов в матрице Лесли, моделирующей популяцию. Поскольку доминантное собственное значение матрицы определяет общую скорость роста, необходимо изучить, как изменения элементов в матрице, влияют на доминантное значение. Определение эффекта небольших изменений в каждом из элементов иногда называют анализом чувствительности. Представьте себе находящуюся под угрозой исчезновения популяцию, сгруппированную в незрелые и зрелые подгруппы и смоделированную моделью Ашера с матрицей .

Проанализируйте влияние небольших изменений в каждом из ненулевых элементов матрицы на динамику развития популяции.

Рекомендации

 Каково доминирующее собственное значение модели? Как быстро популяция будет увеличиваться или сокращаться, если не будет внесено никаких изменений?

 Для матрицы , какие значения  дают значимую с прикладной точки зрения модель? Для различных значений  в этом диапазоне вычислите доминирующее собственное значение . Представьте результаты вычислений в виде таблицы и в виде графика функции  от . Для этого могут пригодиться следующие команды в MATLAB:

lambda1vec=[]

cvec=[0:.1:1]

for c=cvec

 A=[ 0 1.7;c .1]

 lambda1=max(eig(A))

 lambda1vec=[lambda1vec, lambda1]

end

plot(cvec, lambda1vec)

 Если уже прочитали следующий раздел, найдите формулу для  как функцию от ? Согласуется ли график этой функции с тем, что изобразили ранее?

 Если стратегия активного вмешательства попытается изменить элемент  в этой матрице, опишите в математических терминах, каким может получиться результат от таких действий. Какое значение параметра  должно быть достигнуто, чтобы популяция восстановилась?

 Повторите анализ, чтобы понять влияние изменения других ненулевых элементов матрицы.

 Независимо от стоимости реализации любого плана восстановления популяции, какой элемент, по вашему мнению, было бы наиболее эффективно попытаться изменить? Решение каких вспомогательных задач может понадобиться для того, чтобы лучше понять динамику популяции и адекватно ответить на этот вопрос?

 Почему план изменения коэффициента рождаемости на небольшую величину может иметь затраты, отличные от затрат на реализацию плана по изменению коэффициента выживаемости?