Математические модели в естественнонаучном образовании

Пример. Для популяции, возникающей в ходе численного эксперимента с моделью леса, ранее уже представлялся . Теперь можно спокойно вычислить значение вектора  при любом наперёд заданном .

Таким образом, найдена формула, дающая значения любой из строк в таблице 2.1, которые изначально получались в результате громоздких вычислений. Попробуйте выбрать несколько произвольных значений , чтобы убедиться в том, как получаются ровно те же результаты, которые ранее были занесены в таблице. Отметим также, что выведенные формулы дают возможность ясно понять, как именно популяция приближается к равновесию в точке  по мере роста значений .

Как это работает? Что касается собственного вектора, то его умножение на матрицу такое же, как умножение на скаляр (собственное значение). Таким образом, начальные значения, заданные собственными векторами, будут иметь легко прогнозируемое поведение (экспоненциальный рост или спад). Если разложить любой начальный вектор на собственные векторы, то можно понять влияние модели на исходный вектор через его влияние на собственные векторы, как на своеобразные новые базисные вектора линейного пространства, преобразуемого матрицей перехода в данной модели.

Зададимся вопросом асимптотического поведения модели. Зная матрицу перехода  в линейной модели  и зафиксировав вектор начальных значений , можно найти явную формулу для вычисления значений : если  являются собственными значениями  соответствующими собственным векторам , можно выразить   в виде линейной комбинации  и найти .

Эта форма записи  дает исчерпывающую информацию о модели. Предположим, например, что все  удовлетворяют неравенству; тогда, степени  стремятся к 0, а численность популяции  также устремлена в   по  мере увеличения . С другой стороны, если хотя бы для одного  имеем  и соответствующий множитель , то  будет иметь слагаемое экспоненциального роста. Также видим, что отрицательное значение  должно производить некоторую форму колебательного движения, потому что его значение чередуется по знаку. Внимательный анализ формулы таким образом показывает, что собственные значения матрицы перехода в действительности являются ключом к качественному описанию поведения модели.

Определение. Собственные значения матрицы , которые являются наибольшими по абсолютной величине, называются доминирующими собственными значениями матрицы . Соответствующий им собственный вектор называется доминирующим собственным вектором.

Обратите внимание, на множественное число доминирующих собственных значений в определении, потому что несколько собственных значений могут иметь одинаковое абсолютное значение. Если существует собственное значение, абсолютное значение которого строго больше всех остальных (например,  для всех ), говорим, что он строго доминирует.

Перенумеровав собственные значения таким образом, чтобы  было доминирующим, получим выражение .

Предполагая, что  является строго доминирующим, получим  для всех . Так как увеличение  уменьшает все слагаемые, за исключением первого, отбрасывание стремящихся к нулю слагаемых показывает, что поведение вектора  аппроксимируется .

Таким образом, в целом модель отображает примерно экспоненциальный рост или спад, в зависимости от доминирующего значения . Например, модель, изображенная рисунке 2.2. должна иметь доминирующее собственное значение больше, чем 1, так как график показывает экспоненциальный рост.

Доминирующее собственное значение описывает основной компонент поведения модели. Для линейной модели популяции доминирующее собственное значение часто называют внутренним темпом роста популяции, и это единственное наиболее важное число, описывающее, как популяция меняется с течением времени. Это яркий пример сводной статистики, потому что извлекается наиболее важная характеристика из всех элементов матрицы перехода.

Однако выведенное уравнение может рассказать больше. Разделив каждую его часть на , получим . При , имеем  .

Другими словами, если пытаться нейтрализовать рост, который модель предсказывает для , вектор значений просто устремится к кратному доминирующему собственному вектору. Поэтому для большого  компоненты вектора  должны быть примерно в тех же пропорциях друг к другу, что и компоненты вектора . Это можно было наблюдать на рисунке 2.2 после того, как прошли первые несколько временных шагов.

Поэтому для популяционной модели доминирующий собственный вектор часто называют стабильным возрастным распределением или стабильным распределением стадий, потому что он дает пропорции популяции, которые должны появляться в каждом возрастном или сценическом классе, как только обнаруживаем тенденцию роста.

До этого момента избегали комментировать значения коэффициентов  в выводимых уравнениях.  Напомним, что они были найдены как вектор  решения уравнения , где  – матрица с собственными векторами в качестве столбцов. Это означает, что если изменить , то изменятся и значения . Только через  исходный вектор  раскладывается в формулах на линейную комбинацию из собственных векторов.