Математические модели в естественнонаучном образовании

2.2.4. При помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для  и  при условии, что они существуют. Убедитесь, что обратная матрица найдена верно, путём её умножения на исходную матрицу и получением в результате единичной матрицы.

2.2.5. Простая модель Ашера в пройденном параграфе описывает незрелые и зрелые группы, задаётся матрицей .

а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?

б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?

в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы ?

г. Что означает левый нижний элемент матрицы ?

2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:

а. Найдите .

б. Пусть , найдите  и .

2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода , которая обратима.

а. В чем смысл матрицы ? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получится? Если вектор численности популяции умножить на , то что получится?

б. В чем смысл матрицы ? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получается?

в. Основываясь на ответах из частей (а) и (б), объясните, почему  для любого положительного целого числа . Эта матрица часто обозначается как .

2.2.8. Модель, которую предложил Каллен в 1985 году, данные для которой собрали Неллис и Кит в 1976 году, описывает популяцию койотов. Динамика возрастных групп – щенок, сеголетка и взрослая особь – описывается матрицей  c шаг времени 1 год. Объясните, каков смысл каждого элемента матрицы. Будьте внимательны при объяснении значения 0.11 в левом верхнем углу.

2.2.9. а. Покажите, что из  не обязательно следует равенство  вычислив  и  для ,  и .

б. Объясните, почему если  и существует , то .

2.2.10. В отличие от скаляров, умножение которых коммутативно, для матриц как правило . Вместо этого, если обратные значения существуют, то .

а. Для   и  , без использования компьютера вычислите ,  и  для проверки этих утверждений.

б. Выберите любые две другие обратимые 2 x 2 матрицы  и , и для них убедитесь в том, что .

в. Выберите две обратимые матрицы 3 x 3 матриц   и , и с помощью компьютера убедитесь, что .

2.2.11. Тождество  можно доказать разными способами.

а. Объясните, почему .  Почему это доказывает, что ?

б. Предположим, как и в первом разделе пройденной главы, что  является матрицей перехода для популяции лесов в засушливый год, а  – матрицей для влажного года. Затем, если первый год сухой, а второй влажный, имеем . Как выразить  через ? Как найти  зная ? Объедините полученные результаты, чтобы объяснить, как найти  через . Как это доказывает, что ?

2.2.12. Пусть лес состоит из двух видов деревьев,  и . Каждый год  числа деревьев вида  заменяются деревьями вида , в то время как   деревьев вида  заменяются деревьями вида . Численность остальных деревьев не меняется.

а. Пусть  и  обозначают количество деревьев каждого типа в год . Выразите  и  через  и .

б. Запишите уравнения из пункта (а) в матричном виде.

в. Используйте пункт (б) для получения формулы, выражающей  и через  и .

г. Выразите  и  через  и  в матричной форме.

д. Предположим, что  и . Вычислите вручную  и  для . Используйте MATLAB для самопроверки и продрожите счет до . Что происходит с популяцией?

е. Выберите несколько разных значений  и . Используйте MATLAB для анализа динамики популяции с течением времени. Как результаты соотносятся с результатами пункта (д)?

2.3. Собственные векторы и собственные значения

Вернемся к модели леса, представленной в разделе 2.1 этой главы. Напомним, что уравнением , при , моделировали численность двух типов деревьев в лесу.

Вектор , описывающий численность популяции, к которой лес приблизился в ходе машинного эксперимента, характеризуется тем свойством, что . Убедитесь в этом путём непосредственного вычисления. Используя терминологию главы 1, можно назвать  вектором равновесия для данной модели.

На самом деле, существует еще один вектор, который ведёт себя хорошо почти так же, как  для этой конкретной модели. А именно, если , то . Проверить это тоже можно непосредственными вычислениями. Хотя  и не является равновесием, он демонстрирует довольно простое поведение при умножении на матрицу  – эффект от умножения  на  точно такой же, как при умножение его на скаляр .

Определение. Если  – квадратная матрица порядка , и  – ненулевой вектор арифметического пространства , а  – скаляр такой, что , то  называется собственным вектором матрицы , а  называется собственным значением.

Почему требуется, чтобы собственные векторы не были нулевым вектором? Да просто потому, что  для любых действительных чисел . А когда собственный вектор , с ним может быть связано только одно собственное значение .

Используя эту терминологию, приведенная выше матрица  имеет собственный вектор  с собственным значением  и собственный вектор  с собственным значением .

Заметим, однако, что, как и , векторы ,  и  тоже являются собственными векторами  с собственным значением . Однако, поскольку названные векторы являются скалярно кратными друг другу, это может показаться не удивительным. Что объясняет следующая теорема.