Математические модели в естественнонаучном образовании

Определение. Если  и  являются квадратными -матрицами и , то говорим, что  является обратной к  и используем обозначение .

Не будем доказывать здесь, но можно показать, что для квадратных матриц если , то . Таким образом, если  является обратной для , то  обратная для .

Прежде чем научиться вычислить обратную матрицу, проанализируем, всегда ли такая матрица будет существовать. Например, , поэтому . С другой стороны, если , то  необратима. Чтобы понять это, посмотрите на  . Невозможно заполнить пропущенные места в верхней строке левой матрицы так, чтобы верхняя левый элемент первой строки в произведении оказался равен 1. Из-за нулевого столбца в  верхний левый элемент произведения всегда будет равным 0. Этот пример показывает, что некоторые матрицы необратимы.

Попытка найти обратную матрицу в общем случае даст больше понимания проблемы. Зададимся вопросом, чем заполнить матрицу в уравнении  .

Сосредоточившись на правом верхнем элементе произведения, легко получить там ноль, поместив  и  в верхнюю строку искомой матрицы. Чтобы получить ноль в нижнем левом элементе произведения, можно поставить  и  в нижнем ряду.  Это приводит нас к равенству . Теперь, чтобы получить 1 по диагонали, достаточно просто нужно разделить каждый элемент левой матрицы на . Таким образом, . Число  имеет специальное название:

Определение.  Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы  второго порядка называется число , которое обозначается как  или .

Формула для обращения квадратной матрицы второго порядка теперь выглядит следующим образом: если , то .

В общем случае обращение матрицы происходит по формуле , то есть на определитель делится матрица, транспонированная к присоединённой. Транспонирование осуществляется путём замены строк матрицы её столбцами, а для нахождения -элемента -й строки -го столбца в присоединённой матрице вычисляется алгебраическое дополнение к элементу -й строки -го столбца исходной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком . А минором называется определитель матрицы, получаемой из исходной путём вычёркивания из неё -й строки и -го столбца.

Пример. .

Поскольку не каждая матрица имеет обратную, невозможно найти универсальную формулу для обращение любой матрицы. Иногда что-то будет мешать. Глядя на формулу, видим, что она не имеет смысла, при . На самом деле, не будем доказывать это, но если , то  не имеет обратной. Другими словами, чтобы найти обратную матрицу 2 x 2, можем просто попытаться использовать вышеописанную формулу. Если формула неприменима, то матрица не имеет обратного. Резюмируем сказанное следующей теоремой.

Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.

Пример. Матрица  необратима, так как её определитель равен .

Для матриц размерности 3 x 3 и выше, ручное вычисление обратной матрицы (если она существует) через детерминант очень громоздко. Несмотря на то, что задача алгоритмически разрешима и хорошо распараллеливается процесс вычисления по формулам обращения любой квадратной матрицы, они слишком сложны, чтобы быть полезными с практической точки зрения. Поэтому обратные матрицы обычно вычисляются с помощью другого метода, называемого методом Гаусса-Джордана, который преподается на курсах линейной алгебры. Для нужд математического моделирования громоздкие операции с большими матрицами выполняются средствами программного обеспечения, такого как MATLAB, чтобы ускорить вычисления.

Однако важно помнить, что не каждая матрица будет иметь обратную. Если попытаетесь вычислить значение, когда его не существует, MATLAB сообщит об этом. К счастью, большинство квадратных матриц обратимы. По этой причине необратимые матрицы называются особенными, сингулярными или вырожденными.

Вернемся к первоначальной проблеме нахождения обратной матрицы.

Пример. Для леса, моделируемого в разделе 2.1, предположим, что в момент времени  численность деревьев двух видов составляла . Какова была их численность в момент времени ? Чтобы ответить на этот вопрос, зная о соотношении , просто умножаем обе части равенства слева на , чтобы найти .

Задачи для самостоятельного решения:

2.2.1. Первый раздел настоящей главы начинается с двух примеров моделей популяции. Является ли каждая из них моделью Лесли? Является ли каждая из них моделью Ашера? Объясните, почему, описав форму матриц перехода для них.

2.2.2. В MATLAB создайте матрицу Лесли для модели численности населения, описанной с помощью команд

sd=[0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, …

    0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831]

P=diag(sd,-1)

P(1,:)=[0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, …

        0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010]

Для нескольких вариантов начальных значений популяции постройте графики популяции в течение следующих 10 временных шагов. Опишите свои наблюдения.

2.2.3. Без помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для следующих матриц  , ,  при условии, что они существуют. Затем проверьте свои ответы с помощью компьютера. В MATLAB для поиска обратной матрицы и определителя матрицы  используются команды

inv(A)

det(A)