Математические модели в естественнонаучном образовании

Теорема. Если  является собственным вектором матрицы  с собственным значением , то для любого скаляра  вектор  тоже является собственным вектором матрицы  с тем же собственным значением .

Доказательство. Если , то .

Практическим следствием этого является тот факт, что, хоть и можно говорить о паре  как о «собственном» векторе  с собственным значением , например, на самом деле это не означают, что существует только один такой собственный вектор. Любой ненулевой скалярно кратный ему вектор вида  также является собственным вектором.

Понимание сути собственных векторов имеет решающее значение для понимания линейных моделей. В качестве первого шага к пониманию того, почему так происходит, рассмотрим, что будет если начальные значения линейной модели задать собственным вектором. Рассмотрим модель , для которой . Затем, положив , получаем таблицу 2.2.

Таблица 2.2. Прогон линейной модели с собственным вектором в качестве начальных значений.

0 

1            

2            

3            

…           …

Строки в таблице 2.2 описываются одной формулой . Это означает, что, когда начальный вектор является собственным вектором, моно вывести простую формулу для всех последующих значений . Заметим, что эта формула использует скалярную экспоненту точно так же, как было в соответствующей формуле из линейной модели главы 1. Единственное различие заключается в том, что экспонента умножается на собственный вектор начальных значений популяции, а не на единственное начальное значение популяции, используемое в главе 1.

Пример. Если модель леса с  и вектор начальных значений , то получим . Таким образом, с увеличением времени компоненты вектора  будут уменьшаться, хоть и довольно медленно, но до 0.

Есть, по крайней мере, два вопроса, которые вызывают лёгкое недоумение при первом изучении темы: 1) Поскольку численности групп в популяции не могут быть отрицательными, как в этой модели интерпретировать собственный вектор с отрицательными компонентами? 2) Как был найден собственный вектор ? Далее обратимся к первому из этих вопросов, а второй ожидает рассмотрения в следующем разделе.

Зададимся вопросом об интерпретации собственных векторов на примере лесной модели с матрицей , которая имеет два собственных вектора. Если начинать моделирование с численности популяции, которая не является одним из собственных векторов, то как тогда использовать собственные векторы, для описания динамики повеления модели?

Ключевая идея состоит в том, чтобы попытаться выразить начальный вектор значений численности популяции в терминах собственных векторов. В частности, учитывая начальный вектор популяции , найдём два скаляра,  и , такие, что .

Задача эквивалентна решению матричного уравнения .

Заметим, что матрица, появляющаяся в этом уравнении, имеет собственные векторы матрицы  в качестве своих столбцов. Составленное уравнение можно решить при условии, что такая матрица обратима. Итак, была проиллюстрирована 2 x 2- версия следующей теоремы.

Теорема. Пусть  это -матрица, имеющая  собственных векторов, образующих столбцы матрицы . Тогда, если  обратима, то любой вектор представим линейной комбинацией собственных векторов.

Пример. Когда проводилось численное исследование модели леса, использовали исходный вектор популяции . Матрица собственных векторов равна . Чтобы решить уравнение , вычисляем . Таким образом, поучили . Следовательно, .

Техническое замечание: не каждая матрица имеет собственные векторы, которые можно использовать в качестве столбцов для формирования обратимой матрицы . Однако можно доказать, что если матрица не обладает свойством обратимости, то, изменив её элементы на «сколь угодно малую» величину, можно получить матрицу, которая будет обратимой. Более того, «почти все» матрицы в действительности обладают свойством обратимости – если генерировать матрицу случайным образом, то она с вероятностью близкой в 1 имеет свойство обратимости. Последствия этих фактов для применения теории собственных векторов к математическим моделям заключаются в том, что нет необходимости беспокоиться о недостаточном количестве хороших собственных векторов.

Теперь, когда пришло понимание, как выразить вектор начальных значений через собственные векторы, возникает естественный вопрос, где использовать это выражение? Пусть -матрица  имеет  собственных векторов , чьи собственные значения равны  соответственно. Представим начальный вектор  как . Тогда получим, . Но каждый член последнего выражения представляет собой результат умножения матрицы  на собственный вектор, поэтому .

Теперь , и поскольку каждый член это опять-таки результат умножения матрицы  на собственный вектор, получим . Продолжая умножение на , получаем общую формулу .

Понимание природы собственных векторов позволило найти формулу для вычисления значений  в любой момент времени . Обратите внимание на сходство этой формулы с соответствующей для мальтузианской модели главы 1. Хотя есть несколько слагаемых, по своей совокупности каждое из них имеет простую экспоненциальную форму, которая уже знакома.