Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Взглянув на математику, которая присутствует в окружающем мире и которую используют специалисты, мы увидим, что это творческая, наглядная, связная, живая дисциплина. Но многие ученики воспринимают ее как набор бесполезных методов и процедур, которые нужно зачем-то запоминать; как сотни ответов на вопросы, которых они никогда не задавали. Когда людей спрашивают о применении математики в реальном мире, они, как правило, думают о числах и вычислениях (как рассчитать ипотечный кредит или цену продажи). Но математическое мышление не сводится только к этому. Мы применяем математику, когда рассуждаем, как провести время, сколько событий и заданий можно запланировать на день, какая площадь нужна для установки оборудования или разворота автомобиля, сколько событий может произойти. Математика помогает понять, как распространяются твиты и сколько людей могут их получить. Мир с уважением относится к людям, которые быстро выполняют вычисления, но некоторые люди при этом не способны достичь важных целей с их помощью, зато другие, хотя и размышляют очень медленно и совершают много ошибок, могут сотворить с помощью математики нечто удивительное. В современном мире вычисления полностью автоматизированы, привычны и ни у кого не вызывают удивления. Сильные мыслители теперь — люди, которые устанавливают связи, рассуждают логически и творчески используют пространство, данные и числа.

Нельзя винить учителей в том, что во многих школах преподается ограниченная и выхолощенная версия математики. Учителям обычно дают длинные списки тем, которые они должны объяснить, вместе с сотнями описаний. Но на глубокое изучение конкретных идей времени не предусмотрено. Когда учителям дают списки тем для преподавания, они видят предмет, разделенный на составляющие — как разобранный на части велосипед, превратившийся в груду деталей, которые ученикам предстоит чистить и полировать весь год. В списки тем не включены связи; дисциплина в них представлена так, будто связей вообще не существует. Я не хочу, чтобы ученики целый день полировали отдельные детали велосипеда! Я хочу, чтобы они свободно ездили на велосипедах, получая удовольствие от математики, испытывая радость от установления связей и впадая в эйфорию от истинного математического мышления. Когда мы раскроем суть математики и будем преподавать ту широкую, наглядную, творческую математику, о которой идет речь в этой книге, она станет предметом, который может чему-то научить. Ученикам трудно развить мышление роста, если они должны только давать правильные ответы на четкие вопросы. Такие вопросы сами по себе способствуют формированию фиксированного мышления. Когда мы преподаем математику (истинную науку о глубинных связях), это расширяет возможности для формирования мышления роста и обучения, а в классах появляется много счастливых, воодушевленных и увлеченных учеников. В следующих пяти главах представлено много идей, как добиться этого, а также приведены результаты исследований, подтверждающие эти идеи.

Глава 4. Формирование математического мышления: гибкий подход к работе с числами

Малыши любят математику. Дайте детям набор кубиков — и они будут ставить эти детальки друг на друга и располагать в определенном порядке, с интересом наблюдая, как грани выстраиваются в одну линию. Дети смотрят на небо и восхищаются тем, как птицы летят клином. Посчитайте какие-нибудь предметы с маленьким ребенком, затем переставьте их и снова сосчитайте — ребенок придет в восторг от того, что количество предметов не изменилось. Предложите ребенку расставить цветные кубики по какой-нибудь схеме — и он с удовольствием будет создавать повторяющиеся рисунки (самое математическое из всех действий). Кит Девлин написал ряд книг, в которых убедительно доказывается, что математика у нас в крови и всем нам свойственно математическое мышление (см., например, Devlin, 2006). Мы хотим видеть закономерности мира и понимать ритмы Вселенной. Но радость и восторг детей перед математикой быстро уступает место страху и неприязни, как только они начинают изучать ее в школе и их знакомят с набором формальных методов, которые они должны просто принять и запомнить.

В Финляндии, стране с самыми высокими результатами тестов PISA, дети изучают формальные математические методы только после семи лет. В США, Великобритании и некоторых других странах эти методы начинают изучать гораздо раньше. К семи годам дети здесь уже знакомы с алгоритмами сложения, вычитания, умножения и деления чисел, и их заставляют учить таблицу умножения. Младшеклассники приходят в замешательство: все это не имеет для них смысла. Любознательность, которая была свойственна им ранее, угасает и уступает место твердой убежденности в том, что суть математики сводится к инструкциям и правилам.