Математика для любознательных

Легко видеть, почему это так. Умножить на 52 - значит умножить на 50 и на 2; но вместо того, чтобы умножить на 50, можно половину умножить на 100 - отсюда понятно деление пополам; умножение же на 100достигается припиской 72-х (36 x 2), отчего каждая цифра увеличивается в 100раз (передвигается на два разряда влево).

Теперь понятно, почему «гениальный» счетчик так быстро отвечает на вопрос «мне столько-то лет; сколько мне недель?». Умножив число лет на 52, ему остается только прибавить еще к произведению седьмую часть числа лет, потому что в году 365 дней, т. е. 52 недели и 1 день: каждые 7 лет из этих избыточных дней накопляется лишняя неделя[73].

«Сколько мне дней?»

Если спрашивают не о числе недель, а о числе дней, то прибегают к такому приему: половину числа лет множат на 73 и приписывают нуль - результат и будет искомым числом. Эта формула станет понятна, если заметить, что 730 = 365 x 2. Если мне 24 года, то число дней получим, умножив 12 x 73 = 876 и приписав нуль - 8760. Самое умножение на 73 также производится сокращенным образом, о чем речь впереди (стр. 261).

Поправка в несколько дней, происходящая от високосных лет, обыкновенно в расчет не принимается, хотя ее легко ввести, прибавив к результату четверть числа лет, - в нашем примере 24:4 = 6; общий результат, следовательно, 8766[74].

Прием для вычисления числа минут читатель, после сказанного в следующей статье, не затруднится найти самостоятельно.

«Сколько мне секунд?»

Задача № 54

На этот вопрос также можно довольно быстро ответить, пользуясь следующим приемом: половину числа лет умножают на 63; затем ту же половину множат на 72, результат ставят рядом с первым и приписывают три нуля. Если, например, число лет 24, то для определения числа секунд поступают так:

63 x 12 = 756; 72 x 12 = 864; результат 756.864.000.

Как и в предыдущем примере, здесь не приняты в расчет високосные годы - ошибка, которой никто не поставит вычислителю в упрек, когда приходится иметь дело с сотнями миллионов.

На чем же основан указанный здесь прием?

Решение

Правильность нашей формулы выясняется очень просто. Чтобы определить число секунд, заключающихся в данном числе лет, нужно лета (в нашем примере 24) умножить на число секунд в году, т. е. на 365 x 24 x 60 x 60 = 31536000. Мы делаем то же самое, но только большой множитель 31536 разбиваем на две части (приписка нулей сама собой понятна). Вместо того, чтобы умножать 24 x 31536, умножают 24 на 31500 и на 36, но и эти действия мы для удобства вычислений заменяем другими, как видно из следующей схемы:

Остается лишь приписать три нуля - и мы имеем искомый результат: 756.864.000.

Приемы ускоренного умножения

Мы упоминали раньше, что для выполнения тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приемов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма несложны и удобоприменимы; они настолько облегчают вычисления, что мы советуем читателю вообще запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчетах. Таков, например, прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ этот не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии», или «умножением крестиком». Теперь он хорошо забыт, и о нем не мешает напомнить[75].

Пусть дано перемножить 24 x 32. Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4 x 2 = 8- это последняя цифра результата.

2) 2 x 2 = 4; 4 x 3 = 12; 4 + 12 = 16; 6- предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.

3) 2 x 3 = 6, да еще удержанная в уме 1-ца, имеем 7 - это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 - 768. После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых «дополнений», удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Предположим, что требуется перемножить 92 x 96. «Дополнение» для 92 до 100 будет 8; для 96-ти - 4. Действие производят по следующей схеме:

множители: 92 и 96

дополнения: 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т. е. из 92-х вычитают 4, или из 96-ти - 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 x 4 = 32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:

Какой день недели?

Умение быстро определять день недели, на какой приходится та или иная дата (например, 17 января 1893 г., 4 сентября 1943 г. и т. п.), основано на знании особенностей нашего календаря, которые мы сейчас и изложим.