Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

Каждое число может быть либо положительным, либо отрицательным.

Перед отрицательными числами обязательно нужно ставить знак «–». Перед положительными числами тоже положено ставить знак «+», но делать мы это будем не всегда.

Уравнение можно представить себе в виде доски-качалки, где знак «равно» – точка опоры. Положительные числа – это грузы, прижимающие доску к земле, а отрицательные – воздушные шары, тянущие ее вверх.

7 − 2 = 4 + 1

Если хотите переместить числа с места на место на одном конце доски, их знаки нужно перемещать вместе с ними. Поменяв местами числа с левой стороны, получим:

−2 + 7 = 4 + 1

Знак «минус» должен оставаться перед числом 2, иначе уравнение станет неверным. Перед 7 появился знак «плюс» как напоминание, что оно положительное. Предположим, что нам нужно оставить в левой части уравнения только число +7. Существует всего одно золотое правило.

С уравнением можно делать все что угодно[8] при условии, что с его обеими частями производятся одни и те же действия.

Чтобы в левой части осталось только +7, нужно избавиться от –2. Для этого добавим +2; однако, согласно правилу, это число нужно добавить к обеим частям уравнения.

−2 +7 +2 = 4 + 1 + 2

−2 и +2 с левой стороны уравнения взаимоуничтожатся, то есть дадут 0. С правой же стороны +2 останется, и мы получим:

7 = 4 + 1 + 2

Выполнив подсчеты, вы убедитесь, что 7 и вправду равняется 4 + 1 + 2. При этом мы продемонстрировали маленькую хитрость.

При переносе числа через знак равенства меняется его знак! То есть «−» меняется на «+», а «+» на «−».

Вот еще одна вещь, которую можно показать на примере доски-качалки: вы можете менять две части уравнения местами:

4 + 1 + 2 = 7

Скобки

Давайте пока остановимся на варианте 7 = 4 + 1 + 2. Предположим, что нам нужно знать, чему равно число 14. Для этого умножаем 7 на 2, но умножать также следует и другую часть уравнения. Поскольку с правой стороны стоят три числа, каждое из них необходимо умножить на 2 вот так:

2 × 7 = 2(4 + 1 + 2)

Как видите, мы заключили все числа с правой стороны в скобки. Можно было записать это иначе: 2 × 4 + 2 × 1 + 2 × 2, но со скобками получается короче и удобнее. Число 2 перед скобкой называется коэффициентом.

Если перед открывающей скобкой стоит число, то на него умножается все, что находится внутри скобок.

Добавляем буквы

Наверное, вам уже не терпится перейти к решению хитроумных дифференциальных уравнений, однако начнем с малого.

Прогуливаясь по улице, вы неожиданно встречаете Малькольма, который пребывает в легком шоке. Он только что водил маму в кофейню Barstucks, где они выпили по чашке кофе, и в результате из 10 фунтов, которые он брал с собой, осталось всего 1,20 фунта. Сколько же стоила каждая чашка? Вот что нам известно:

10 фунтов минус цена двух чашек кофе = 1,20 фунта

Мы сэкономим массу типографской краски, если обозначим цену одной чашки кофе буквой c. Из этого следует, что цена двух чашек кофе составит 2 × c, но для удобства мы просто напишем 2c.

Что ж, давайте составим уравнение и посмотрим, как быть дальше.

10 − 2c = 1,20

Нам нужно, чтобы слева от знака равенства была только буква c. Для начала перенесем 10 фунтов на другую сторону, поменяв знак на минус:

−2c = 1,20 − 10

Минус перед 2c выглядит не слишком привлекательно, поэтому избавимся от него, умножив обе части уравнения на (−1). В результате каждый знак «+» поменяется на «−», а каждый знак «−» на «+»:

2c = 10 − 1,20

Теперь подсчитаем 10 − 1,20 = 8,80, тогда

2c = 8,80

Поскольку нам нужна только одна с, разделим обе части на 2, и ответ готов:

с = 4,40 фунта

4,40 фунта за чашку кофе? Неудивительно, что Малькольм был в шоке!

Что можно и чего нельзя

В алгебре есть еще несколько на первый взгляд странных правил, поэтому, чтобы они стали понятнее, представим себе множество одинаковых коробков спичек. В каждом содержится m спичек, так что если мы отложим в сторону три коробка, общее количество спичек в них составит 3 × m, или просто 3m. Число 3 здесь – коэффициент при m.

Теперь, разобравшись с коробками, перейдем к правилам и выясним, как их применять к нашим спичкам.

1. Коэффициент можно умножать на число

Если добавить еще одну стопку из трех коробков…

… то 2 стопки по 3m в сумме дадут 6m.

2. Прибавлять число к коэффициенту нельзя

Если вы где-то нашли три спички…

Видите, теперь у нас 6m + 3 спички. Нельзя прибавлять 3 к 6, чтобы получить 9m!