Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

3. Коэффициенты можно складывать, если при них одна и та же буква

Если взять еще два коробка…

Как видите, складывать 6m и 2m, чтобы получить 8m, можно, но 3 прибавить к 8m по-прежнему нельзя.

Вот еще три правила. Не волнуйтесь, если сейчас они покажутся вам непонятными, чуть позже мы их применим, и все прояснится.

4. Когда знак «минус» стоит перед скобками, избавляясь от них, надо поменять все знаки внутри скобок на противоположные

В выражении вроде 3 − (2x − 4) все, что внутри скобок, следует умножить на –1. Избавившись от скобок, вы получите 3 − 2x + 4. Вместо +2х стало −2х, а вместо −4 стало +4.

5. Если умножить букву на саму себя, получается буква в квадрате

Таким образом, y × y превратится в y² (что такое числа в квадрате, мы обсуждали в разделе «Квадраты и квадратные корни»), а 4y × 3y – в 12y². Коэффициенты перемножаются, а у буквы появляется знак квадрата.

6. При перемножении разных чисел и букв числа умножаются, а буквы пишутся вместе

Поэтому 2x × 4y = 8xy. Такие ситуации часто возникают при умножении содержимого скобок, например: 3p(7q − 2p) = 21pq − 6p².

Итак, давайте посмотрим, как это все может нам пригодиться.

Разгадка тайн математики с помощью алгебры

Алгебра бывает крайне полезна при решении задач и головоломок. Вот вам кое-что для начала.

Земельная афера

Бэтчап Билдингз решил приобрести надел земли у фермера Шарпа. Обе стороны сошлись на том, что это должен быть квадратный участок 20 м × 20 м, то есть площадью 400 квадратных метров, или м². Однако приехав осмотреть землю, Бэтчап увидел, что участок имеет прямоугольную, а не квадратную форму!

Честно ли поступает фермер?

Хотя мы не знаем, на сколько метров стороны участка длиннее или короче, нам известно, что это одна и та же величина, давайте назовем ее x. Нарисуем схему участка.

Серым цветом показано, как бы выглядел участок, будь это квадрат 20 м × 20 м. Размеры же прямоугольника: (20 − x) в северном направлении и (20 + x) в восточном. Чтобы узнать его площадь, перемножим эти значения и получим (20 − x) × (20 + x); знак умножения обычно не пишется: (20 − x)(20 + x).

При перемножении двух выражений в скобках все, что находится внутри одной пары скобок, умножается на все, что находится внутри другой пары.

Для этого раскрываем первые скобки и умножаем каждый элемент в них на вторые скобки. Получаем:

(20 − x)(20 + x) = 20(20 + x) − x(20 + x) =

= 400 + 20x − 20x − x² =

= 400 − x²

Как видите, раскрывая −x(20 + x), мы первым делом умножаем −x × 20 = −20x. Обратите внимание, знак «минус» никуда не исчезает. И наконец, умножаем −x × x, что дает −x². В следующей строке +20x и −20x взаимоуничтожаются, и мы получаем любопытный результат: 400 − x². О чем это говорит?

Будь участок квадратным, Бэтчап приобрел бы обещанные 400 квадратных метров земли. Однако после изменения формы участка его площадь уменьшилась на x². И чем больше значение x, тем больше земли теряет Бэтчап. (Помните, буква x обозначает, насколько стороны длиннее/короче одна другой.)

Если участок на 5 метров длиннее в одном направлении и на 5 метров короче в другом, тогда x = 5. Мы можем вычислить площадь такого участка двумя способами. Во-первых, взяв полученный ранее ответ 400 − x² и подставив вместо x число 5. Площадь составит 400 − 52, то есть 400 − 25 = 375. Во-вторых, просто перемножив длины сторон прямоугольника. В северном направлении это 20 − 5 = 15, а в восточном – 20 + 5 = 25. Тогда площадь равна 15 × 25 = 375. Оба ответа совпадают, стало быть, алгебра работает как надо!

Разность квадратов

Допустим, у вас есть квадратный блок почтовых марок размером 6 × 6. Кто-то оторвал от него несколько марок, оставив вам квадрат 4 × 4. Сколько марок забрали?

Нам нужно вычислить 62 − 42. Вычитание квадрата одного числа из квадрата другого называется разностью квадратов. В данном случае все просто, поскольку числа небольшие. Получаем 36 − 16 = 20. Однако есть более быстрый способ подсчета, который подходит для квадратов любых чисел.

Разность квадратов двух чисел равняется сумме этих чисел, умноженной на их разность.

Звучит довольно странно, однако вот что это означает: чтобы вычислить 62 − 42, сначала нужно узнать сумму двух чисел: 6 + 4 = 10. Кроме того, понадобится их разность: 6 − 4 = 2. Теперь умножаем сумму на разность: 10 × 2 = 20. Такой же ответ мы получили раньше.