Математика для взрослых

Делить десятичные дроби можно тем же способом. Предположим, что, зайдя в комиссионный магазин, вы увидели потрясающие оранжевые брюки в стиле диско, причем их размер в талии составляет 32 дюйма. Консультант измеряет вашу талию и машинально говорит: «1,14 метра». Если 1 дюйм равен 0,0254 метра, не опозоритесь ли вы, пытаясь влезть в эти брюки? Вот выражение для вычисления обхвата вашей талии в дюймах: 1,14 ÷ 0,0254.

1,14 — это примерно 1, а 0,0254 — около 0,03 или 3/100. Вычисляем приблизительный ответ, разделив 1 ÷ 3/100. Деление на 3/100 аналогично умножению на 100/3 (см. раздел «Деление на дробь»). Тогда 1 × 100/3 = 100/3 = около 33.

Похоже, эти брюки стоит примерить, но чтобы перестраховаться, вычислим размер талии точнее:

Выходит, обхват вашей талии 44,88 дюйма, так что оранжевые брюки, скорее всего, лопнут по швам в примерочной кабинке. Однако не переживайте — это будет меньшим позором, чем пойти в них на танцы.

Можно подумать, что 44,8 сильно отличается от 33 нашего грубого подсчета. Но он здесь нужен в основном для того, чтобы убедиться, что запятая в ответе поставлена там, где надо, а то со всеми этими нулями запутаться ничего не стоит. Если бы получился ответ 4,488 дюйма или 0,04488 дюйма, то было бы ясно, что где-то ошибка!

СТЕПЕНИ И КОРНИ

Большинство из нас никогда не используют степени и корни в повседневной жизни, разве что при расчетах площадей и объемов (о чем мы поговорим немного позже). Однако если вы занимаетесь конструированием гоночных автомобилей или собираетесь слетать в космос, степени и корни понадобятся для расчета скоростей, ускорений, тормозных путей и потреб­ления топлива.

Квадраты и квадратные корни

Мы уже встречались с квадратами чисел в таблице умножения. Квадраты обычно связаны с расчетом геометрических площадей, и обозначают их по-разному: 7 в квадрате — то же самое, что и 7 × 7. Это также можно записать как 7², иначе говоря, 7 в степени 2. Однако, как ни называй, все равно результат равен 49.

А теперь предположим, что у нас есть число 49 и нужно произвести обратное действие, то есть узнать, какое число, будучи умноженным само на себя, даст 49. Это называется квадратный корень из 49 и записывается как √49, или как 49^1/2, то есть 49 в степени ½. Но что бы вы ни предпочли, в результате все равно получится 7. (Кроме того, квадратным корнем из 49 может быть число –7, поскольку перемножение двух отрицательных чисел даст положительное число.)

Легче всего извлекать квадратные корни из квадратов целых чисел, таких как 1, 4, 9, 16 и 25, поскольку в этом случае получаются целые значения. С другими числами все куда сложнее. Например, 19 не является квадратом целого числа; тогда какой будет длина каждой стороны квадрата площадью 19 квадратных метров?

Ответ: √19, но сколько это? Мы знаем, что √16 = 4 и √25 = 5, следовательно, квадратный корень из 19 должен дать значение где-то между 4 и 5.

Вычисление корня с помощью карандаша и бумаги требует определенной умственной гимнастики, так что вполне простительно вооружиться калькулятором. Нажимаем клавиши <19 √> и получаем 4,3588989… Это десятичная, бесконечно тянущаяся дробь без повторяющихся сочетаний цифр. Такие числа называют иррациональными. Все квадратные корни, которые не являются целыми числами, иррациональны.

Другие степени и корни

Степени могут быть любыми. Помимо квадратов вы еще, скорее всего, столкнетесь только с кубами, например 6³ = шесть в степени три = 6 × 6 × 6 = 216. Кубы используют в основном при вычислении объемов, в простейшем случае — объема кубического сосуда (все стенки которого — квадраты).

Процесс, обратный возведению в куб, называется извлечением кубического корня и обозначается так же, как извлечение корня квадратного, но рядом со значком корня ставится маленькая цифра 3, так, как здесь:

Стало быть, если нам известно, что объем кубического сосуда — 216 кубических метров, то длина каждой его стороны равна кубическому корню из 216, то есть 6 метрам.

Если степень отрицательна, на число под степенью нужно делить. Например, 10⁻³ — десять в степени минус три. Это то же самое, что и

Отрицательные степени часто используют при работе с очень большими или крайне малыми числами, и об этом мы пого­ворим в следующем разделе.

Нормальная форма

Масса Земли примерно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг.

Официальное название этого числа — шесть септильонов, хотя «шесть с двадцатью четырьмя нулями на конце» звучит понятнее. Можно выразить это не словами, а числами так:

Масса Земли составляет примерно 6 × 10²⁴ кг

Предположим, нам нужно вычислить, сколько будет 6 × 10³. Это то же самое, что и 6 × 1000, поэтому сдвинем 6 на три знака влево и получим 6000. Аналогично 6 × 10²⁴ означает 6 с 24 нулями на конце.