Математика для взрослых

Граница круга называется окружностью, отрезок между противоположными точками окружности, проходящий через центр круга, — диаметром, а расстояние от центра до окружности — радиусом, и все эти величины связаны между собой посредством числа π. Эта греческая буква называется «пи» и обозначает особое число, которое получится в результате деления длины любой окружности на ее диаметр.

Эта десятичная дробь бесконечна, поэтому нам достаточно запомнить ее как 3,14, или 22/7. Число π нужно для расчета площади круга, а также объемов цилиндра и сферы.

В поисках π

Число π с давних пор занимает людские умы, поскольку его очень сложно точно рассчитать. Древнегреческий математик Архимед начертил близкую к окружности фигуру с 96 миниатюрными сторонами и с ее помощью вычислил, что значение π лежит где-то между 3 и 3, то есть получил π с точностью до 0,001.

В XVI веке голландский математик Людольф ван Цейлен использовал фигуру с более чем 32 миллиардами сторон, потратив двадцать лет жизни на поиски первых 35 знаков числа π после запятой. Вероятно, он считал, что дальше этого зайти никому не удастся, но сразу после его смерти Исаак Ньютон и другие ученые обнаружили менее сложные способы получения еще большего количества знаков. В наши дни с помощью компьютеров найдены триллионы десятичных знаков π, но даже это лишь капля в море...

Основные формулы для круга таковы.

диаметр = 2 × радиус (обычно записывается как d = 2r)

длина окружности = π × диаметр (c = πd или c = 2πr)

площадь круга = πr²

Помните врезку «Искривление пространства» о кратчайших расстояниях? Если взлететь с Северного полюса и, обогнув Землю, приземлиться на Южном полюсе, расстояние перелета составит 20 000 км. А какой будет длина подземного хода, ведущего с одного полюса на другой через центр Земли?

Нам известно, что 20 000 км — это половина пути вокруг Земли, значит, полная длина окружности составит 2 × 20 000 = 40 000 км. Путь через центр — диаметр d; воспользуемся формулой c = πd. Мы знаем, что π × d = 40 000. Следовательно, d = 40 000 ÷ π = 12 732 км.

Давайте перейдем к более насущным вопросам. Допустим, вы решили засеять травой круглый газон шириной 18 м. Одной упаковки семян хватает на 10 м². Сколько всего понадобится упаковок? Нам нужно вычислить площадь газона, по­этому воспользуемся формулой площадь круга = πr². Мы знаем, что ширина газона составляет 18 м; по сути, это его диаметр. Следовательно, r = 18/2 = 9 м. Теперь можно рассчитать площадь: πr² = π × r × r = π × 9 × 9 = π × 81 = 254 м². Поскольку одной упаковки семян хватает на 10 м², нам понадобится 254 ÷ 10 = 25,4 упаковки.

Цилиндр

Основная формула для расчета объема, куда входит число π, относится к цилиндру. Чтобы узнать его объем, нужно умножить площадь его основания (это круг) на высоту — или число π на квадрат радиуса на высоту.

Объем цилиндра = πr²h

Предположим, вы зашли в строительный магазин и увидели огромную банку вашей любимой краски цвета подгоревшей яичницы. Вам стало интересно, а сколько краски она вмещает? Так как радиус измерить сложно, измерим ширину основания — получим диаметр 160 мм. Разделим его пополам и узнаем радиус: r = 160 ÷ 2 = 80 мм. Также измерим высоту — она равна 0,3 м.

При расчете площади или объема всегда используйте одинаковые единицы измерения. У нас радиус в миллиметрах, а высота в метрах, так что будем считать все в метрах, чтобы в итоге получить кубические метры. Преобразуем радиус: 80 мм = 0,08 м. Теперь подставим r = 0,08 и h = 0,3 в формулу:

объем банки

= π × (0,08)² × 0,3

= π × 0,0064 × 0,3

= 0,00603 м³

Заглянув в табличку в подразделе «Метры, литры и граммы», мы видим, что в 1 кубическом метре 1000 литров. Стало быть, наша таинственная банка вмещает 0,00603 × 1000 = 6,03 л.

Прежде мы выяснили, что нам нужно 6 банок краски объемом 750 мл для стен и еще 2 банки для потолка — всего 8 банок. Сколько это в литрах? 750 мл = 0,75 л, значит, в 8 банках 8 × 0,75 = 6 л. Отлично, одной огромной банки как раз хватит на все стены и потолок!

Быстрый способ

Если у вас есть рулетка, вы можете рассчитать объем цилиндра, не связываясь с числом π. Для этого нужно измерить его окружность с, диаметр d и высоту h. Длина окружности неявно вводит π в расчеты, и получается изумительно простая формула:

объем цилиндра = dch/4

Сфера

Около 2250 лет тому назад греческий ученый и математик Архимед совершил множество потрясающих открытий. Но лишь одно изображено на его могильной плите: Архимед был первым, кто доказал, что сфера, вписанная в цилиндр, занимает ровно 2/3 его объема. Иначе говоря, если взять банку с бобами в точности такого размера, чтобы в нее входил теннисный мяч, этот мяч вытолкнет наружу ровно 2/3 бобов. Благодаря Архимеду у нас теперь есть формула объема сферы.

Итак, возьмем сферу и обозначим ее радиус r.