Математика для взрослых

Сначала выведем формулу объема наименьшего цилиндра, в который помещается эта сфера. Возьмем обычную формулу объема цилиндра πr²h, однако учитывая, что высота цилиндра в нашем случае равна 2r, объем наименьшего цилиндра будет πr² × 2r = 2πr³.

Согласно Архимеду, сфера занимает 2/3 этого объема, следовательно, объем сферы = 2/3 × 2πr ³. В итоге получается:

объем сферы = 4/3 πr³

Раз уж мы занялись сферой, стоит упомянуть, что если разрезать ее пополам, площадь круга на срезе будет равна πr². А площадь поверхности сферы вчетверо больше площади круга, поэтому

площадь поверхности сферы = 4πr²

Формула объема сферы — еще одна весьма популярная на уроках геометрии тема, совершенно бесполезная в обыденной жизни: скажите на милость, как измерить радиус чего-то вроде футбольного мяча относительно его центра? Гораздо проще измерить его окружность с и воспользоваться такой формулой:

объем сферы = с³/60

Если вы ученый-ракетостроитель и вам нужен более точный результат, то вычисляйте так:

объем сферы = с³/59,2176264

Однако если вы ракетостроитель и учите математику по этой книге, то у нас у всех серьезные проблемы, не так ли?

Пифагор и его теорема

Пифагор жил примерно за 300 лет до Архимеда и прославился в первую очередь своей знаменитой теоремой: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

Звучит несколько замысловато, но взгляните на рисунок, и вы все поймете. Если взять прямоугольный треугольник и пририсовать к каждой его стороне квадрат, то площади двух меньших квадратов в сумме будут равны площади большого квадрата.

Если вас беспокоит вопрос, зачем кому-то понадобилось лепить к сторонам треугольника квадраты, не волнуйтесь, польза теоремы не в этом. Лучше представьте, что вы по диагонали пересекаете футбольное поле. Если размер поля 100 м × 70 м, какое расстояние вам нужно преодолеть?

Вычисления будут не совсем простыми, поэтому, получив ответ, стоит убедиться, что он правдо­подобен! По рисунку видно, что результат должен быть больше 100 м, но меньше 170 м.

Обозначим диагональ буквой d.

Согласно теореме Пифагора, d² = 100² + 70²

Вычисляем: d² = 10 000 + 4900 = 14 900

Теперь нужно извлечь квадратный корень из 14 900. Иными словами, при умножении какого числа на само себя получится 14 900?

Если у вас нет калькулятора, самый простой способ извлечения корней — догадка и корректировка. Положим, вам кажется, что ответ может равняться 120, тогда считаем: 120 × 120 = 14 400. Довольно близко, но все же меньше, чем надо. Ладно, попробуем 123 × 123 = 15 129. Выходит больше, чем 14 900. Проверим еще один вариант 122 × 122 = 14 884. Уже совсем рядышком, однако теперь все же посчитаем на калькуляторе.

Введите <14900 √> и получите 122,065.

Значит, искомое расстояние чуть больше 122 м.

За более чем 2500 лет, прошедших со времени доказательства Пифагором этой теоремы, люди придумали не менее 300 других ее доказательств, основанных на сложных алгебраических вычислениях, чертежах и тригонометрии, а также следующий способ, где достаточно лишь посмотреть на несколько фигур:

Докажем, что a² + b² = c²

Внешние контуры обеих нижних фигур — это квадраты с длиной сторон (a + b). Это означает, что их площади равны и, следовательно, если из квадратов со стороной (a + b) вычесть площади четырех равных треугольников, то сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большого квадрата. Вот мы и доказали, что a² + b² = c²!

ЧТО ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность наступления какого-либо события измеряется в простых дробях или процентах. Если что-то произойдет наверняка (например, насколько вероятно, что в следующем году пойдет дождь?), вероятность равна 1, или 100%. Если что-то определенно не должно случиться (например, насколько вероятно, что у вас вырастут крылья?), вероятность равна 0, или 0%. Если же событие в равной степени либо произойдет, либо нет (например, каковы шансы, что вы подбросите монетку и выпадет «орел»?), вероятность равна 1/2, или 50%.

Когда событие крайне маловероятно, то проще сказать нечто вроде «вероятность выиграть джекпот в национальной лотерее Британии — примерно один шанс из 14 миллионов». Или, если точнее, это один шанс из 13 983 816, что соответствует дроби 1/13983816. Переводим ее в проценты и получаем 0,00000715%.

Игральные кости

У обычной игральной кости шесть граней, поэтому шанс выбросить какое-либо конкретное число равен 1/6, или 16,7%. Если же кидать две кости, может выпасть любая из 36 различных комбинаций.

Предположим, вам нужно выбросить 12 очков. Для этого должны выпасть две шестерки, и такой вариант только один среди 36 возможных комбинаций. Поэтому вероятность этого события составляет 1/36 = около 2,8%.