Математика и криптография

На первый взгляд — это какое-то хаотичное переплетение непонятных линий. Но если ты немного присмотришься, то увидишь четыре бумажных диска, лежащие друг на друге, и все они находятся на подложке. Каждый диск разбит ровно на 32 сектора, и в каждом секторе написано по букве нашего нового алфавита. На изображении диски повернуты так, чтобы буквы в секторах на всех дисках находились ровно напротив друг друга. Жирные чёрные линии на рисунке показывают так называемую проводку. Это провода, идущие от буквы к букве через все диски. Наконец, лист, на котором лежат диски, представляет собой отражатель. Если ты приглядишься к нему, то поймёшь, почему он так называется. Всё просто: на отражателе все провода выходят из одной буквы, а входят в другую, то есть как бы отражаются.

Как шифровать при помощи этой машины? Алгоритм несложный. Например, тебе надо зашифровать букву «А». Ты ведёшь взглядом по линии, выходящей от буквы «А» на самом верхнем диске. На втором диске линия приходит к букве «В», далее на третьем диске к букве «Н» и на четвёртом диске к букве «М». Затем через отражатель провод возвращается к букве «Й» на четвёртом диске, затем идёт к букве «З» на третьем и «Ж» на втором диске, после чего возвращается на первый диск на букву «В». Это и будет шифром для буквы «А». Так можно зашифровать любую букву алфавита.

Как ты понимаешь, это очень простой шифр одноалфавитной замены. Он тем более простой, что является симметричным (за счёт отражателя). То есть если буква «А» шифруется при помощи буквы «В», то буква «В» шифруется при помощи буквы «А». И так с любой парой букв.

Как же сделать так, чтобы шифр был стойким? Ведь понятно, что если шифровать так, как написано в предыдущем абзаце, то ни о какой стойкости говорить не приходится.

Всё просто. Всё настолько просто, что ты даже можешь придумать метод самостоятельно. Так что я рекомендую тебе подумать, прежде чем читать дальше. Обрати внимание на то, что диски могут вращаться относительно друг друга.

Итак, если твой метод основан на вращении дисков после шифрования каждой буквы, то твоя мысль верна. Всё действительно очень просто. Как только мы зашифровали букву, мы должны повернуть самый верхний диск на один сектор по часовой стрелке, и следующая буква будет шифроваться по совершенно иной проводке. Например, если во взаимном расположении дисков машины (для краткости будем называть это расположение «конфигурацией») на рисунке буква «А» шифровалась как «В», то при повороте верхнего диска на один сектор по часовой стрелке буква «А» станет шифроваться как «Щ». Если ещё раз так же повернуть верхний диск, то буква «А» будет шифроваться как «Ю». Таким образом, первоначальный текст «ААА» будет зашифрован как «ВЩЮ».

Но это не всё, конечно же. Ясно, что раз секторов на диске всего 32, то один диск позволяет использовать тридцать два алфавита замены. Если вращать только верхний диск, то фактически это будет использование шифра многоалфавитной замены с длиной ключа в 32 символа. Это достаточно много, но легко подлежит взлому, как ты уже знаешь из занятий второй недели. Поэтому нужны новые вращающиеся диски. Но они вращаются тогда, когда предыдущий диск делает полный оборот. То есть когда верхний диск делает полный оборот, второй диск поворачивается по часовой стрелке на один сектор.

Так тоже получается шифр многоалфавитной замены, но каждый новый диск умножает длину ключа на количество секторов на нём, то есть на 32. На представленной схеме четыре диска, а потому общая длина ключа, которым можно зашифровать послание, равняется 1048576. Представь себе: более миллиона символов, причём эти замены в основном случайны. Другими словами, для посланий, длина которых меньше миллиона букв, используется одноразовый блокнот (это не совсем так, но для простоты можно считать именно так, особенно если не нарушать правил шифрования).

Но и это ещё не всё. Если каждый раз начинать с одной и той же позиции взаимного расположения дисков, то ни к чему хорошему это не приведёт. Это всё равно как для одноразового блокнота дважды использовать один и тот же ключ. Но и тут спасает возможность вращения дисков. Мы же можем выставлять произвольную начальную конфигурацию, выбирая одну из миллиона. Мы можем каждый день выбирать новую конфигурацию, и этого хватит на всю жизнь. Начальная конфигурация определяется тем, какие буквы стоят друг напротив друга на дисках. Для этого на отражателе нужно выбрать начальный сектор, который лучше всего пометить стрелкой (на моём рисунке этого не сделано). Соответственно, начальная конфигурация зависит от того, какие буквы на дисках расположены напротив стрелки, начиная с верхнего диска. Можно, например, сказать, что начальная конфигурация на рисунке — «АААА», если стрелку на отражателе нарисовать напротив того сектора, где расположена буква «А» на самом нижнем диске.

Итак, правила шифрования: