Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Если система достаточно эффективна, то прибыли, полученные на основе реинвестирования, будут намного больше прибылей, полученных без инвестирования.

Изменение степени пригодности системы для реинвестирования посредством среднего геометрического.

До настоящего момента мы видели, как систему можно разрушить, благодаря отсутствию стабильности от сделки к сделке. Не означает ли это, что мы должны прекратить торговлю и положить деньги в банк?

Теперь, если мы действительно стремимся к последовательности, рассмотрим банковский депозит, абсолютно стабильный инструмент (по сравнению с торгов­лей), выплачивающий 1 пункт за определенный период. Назовем эту серию сис­темой С. Наша цель — максимизировать прибыли при торговле с реинвестирова­нием. С этой точки зрения наша лучшая реинвестиционная последовательность имеет место при использовании системы В. Как выбрать наилучшую систему при наличии информации только о торговле без реинвестирования? По проценту выигрышных сделок? По общей сумме заработка? По средней сделке? Ответом на эти вопросы будет «нет», так как ответив «да», мы должны торговать по системе А (и именно это решение примет большинство фьючерсных трейдеров). Что если принять решение, исходя из наибольшей стабильности (то есть исходя из наи­большего отношении средняя сделка / стандартное отклонение или исходя из са­мого низкого стандартного отклонении)? Как насчет самого высокого отношения риск / выигрыш или самого низкого проигрыша? Это тоже не поможет нам с пра­вильным ответом. Если мы будем выбирать систему по этим признакам, то лучше положить деньги в банк и забыть о торговле.

Система В обладает хорошим сочетанием прибыльности и стабильности. Сис­темы А и С не обладают этими качествами. Вот почему система В работает лучше всего при торговле с реинвестированием. Каков наилучший способ измерения это­го «хорошего сочетания»? Данную проблему можно решить с помощью среднего геометрического. Это просто корень N-й степени из относительного конечного ка­питала (TWR), где N является количеством периодов (сделок). TWR для этих рас­сматриваемых трех систем будут следующими:

Так как в каждой такой системе по 4 сделки, то, чтобы получить среднее гео­метрическое, возьмем корень четвертой степени TWR.

где N = общее количество сделок;

HPR = прибыль за определенный период (единица плюс уровень до­ хода, например HPR =1,10 означает 10% прибыль за данный период, ставку или сделку);

TWR =количество долларов на конец серии периодов / ставок / сде­лок на доллар первоначальной инвестиции.

Далее представлен другой способ выражения этих переменных:

(1.06) TWR = (конечное состояние счета) / (начальное состояние счета) Среднее геометрическое (G) равно вашему фактору роста за игру, или:

Как мы уже сказали, среднее геометрическое — это фактор роста вашего сче­та за игру. Система с наибольшим средним геометрическим является системой, которая принесет наибольшую прибыль, если торговать на основе реинвестиро­вания доходов. Среднее геометрическое меньше единицы означает, что система будет терять деньги, если вы будете торговать на основе реинвестирования.

Эффективность инвестиций часто оценивается с точки зрения дисперсии до­ходов. Коэффициенты Шарпа, Трейнора, Дженсена, Вами и так далее, пытаются соотнести эффективность инвестирования с дисперсией. Среднее геометричес­кое можно рассматривать как одну из таких величин. Однако в отличие от других коэффициентов среднее геометрическое измеряет эффективность инвестирова­ния по отношению к дисперсии в той же математической форме, в которой зада­ется баланс вашего счета.

Уравнение (1.04) можно прокомментировать следующим образом. Если HPR = 0, то вы полностью выйдете из игры, так как все, что умножается на ноль, равно нулю. Любая большая проигрышная сделка будет иметь самое неблагоприятное влияние на TWR, так как эта функция мультипликативна, а не аддитивна.

Как лучше всего реинвестировать

До этого момента речь шла о реинвестировании 100% средств со счета. И хотя нам известно, что для максимизации потенциально прибыльной системы мы должны реинвестировать, использование в каждой сделке 100% капитала вряд ли разумно.

Рассмотрим игру (50/50) с броском монеты. Предположим, вам платят 2 дол­лара, если вы выигрываете, и теряете 1 доллар, если проигрываете. Математичес­кое ожидание составляет 0,5. Другими словами, следует ожидать выигрыша 50 центов в среднем за бросок. Это верно для первого броска и для всех последую­щих бросков при условии, что вы не увеличиваете сумму ставки. Но в процессе независимых испытаний именно это и следует делать. Когда вы выигрываете, то должны увеличивать ставку при каждом броске.