Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

где f = оптимальная фиксированная доля;

Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;

В = отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к про­игранной сумме по проигрышной ставке;

1n() = функция натурального логарифма.

Оказывается, что для систем с двумя возможными исходами это оптимальное f можно довольно легко найти с помощью формул Келли.

Формулы Келли

Начиная с конца 1940-х годов, инженеры компании Bell System работали над про­блемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены случайному, неизбежному «шуму», который мешал передаче данных. Инженерами компании было предло­жено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюда­лись большие сходства между проблемой передачи данных и проблемой геомет­рического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.

Первое уравнение выглядит следующим образом:

или

(1.09б) f=P-Q,

где f = оптимальная фиксированная доля;

Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q = вероятность проигрыша (1 - Р).

Обе формы уравнения (1.09) эквивалентны.

Уравнения (1.09а) или (1.096) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковые по величине. В ка­честве примера рассмотрим следующий поток ставок:

Есть 10 ставок, 6 из них выигрышных, отсюда:

f=(0,6*2)-l =1,2-1=0,2

Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта формула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре «два к одному», где все выигрыши — 2 единицы, а проигрыши — 1 единица.В этом слу­чае формула Келли будет выглядеть следующим образом:

где t = оптимальная фиксированная доля;

Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;

В = отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигран­ной сумме по проигрышной ставке.

В нашем примере с броском монеты в игре «два к одному»:

f=((2+l)*0,5-1)/2 =(3*0,5-1)/2 =0,5/2 = 0,25

Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все вы­игрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда оди­наковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.

Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распре­деление Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределе­нию является ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распреде­лении Бернулли рассказано в приложении В.

Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического.

В реальной торговле размер проигрышей и выигрышей будут постоянно меняться. Поэтому формулы Келли не могут дать нам правильное оптимальное f. Как корректно с математической точки зрения найти оптимальное f, которое по­зволит нам определить количество контрактов для торговли? Попытаемся ответить на этот вопрос. Для начала мы должны изменить формулу для поиска HPR, включив в нее f:

где -Сделка= прибыль или убыток в этой сделке (с проти­воположным знаком, чтобы убыток стал по­ложительным числом, а прибыль — отрица­тельным);

Наибольший проигрыш = наибольший убыток за сделку (это всегда отрица­тельное число).

TWR — это произведение всех HPR, а среднее геометрическое (G) — это корень N-й степени TWR.

где - Сделка_i = прибыль или убыток по сделке i (с противо­положным знаком, чтобы убыток был поло­жительным числом, а прибыль — отрицательным);

Наибольший проигрыш = результат сделки, которая дала наиболь­ший убыток (это всегда должно быть от­рицательное число);

N = общее количество сделок;

G = среднее геометрическое HPR.

Просмотрев значения/от 0,01 до 1, мы найдем/, которое даст наивысшее TWR. Это значение f позволит получить максимальную прибыль при торговле фикси­рованной долей. Мы можем также сказать, что оптимальное f позволяет получить наивысшее среднее геометрическое. Не имеет значения, что мы ищем: наивыс­шее TWR или среднее геометрическое, так как обе величины максимальны при одном и том же значении f.

Описанную выше процедуру достаточно легко осуществить с помощью компьютера, перебирая f от 0,01 до 1,00. Как только вы получите TWR, которое меньше предыдущего, то знайте, что f, относящееся к предыдущему TWR, является оптимальным f, поскольку графики TWR и среднего геометрического име­ют один пик. Чтобы облегчить процесс поиска оптимального f диапазоне от 0 до 1, можно использовать разные алгоритмы. Один из самых быстрых способов расчета оптимального f — это метод параболической интерполяции, который детально описан в книге «Формулы управления портфелем».