Математика. Утрата определенности.

Некоторые математики полагают, что математика автономна (гл. XIV), т.е. что ее аксиомы рождены чистым разумом или подсказаны опытом, а вся остальная математика построена на них уже независимо от опыта. Если встать на эту точку зрения, то как объяснить, почему математика применима к реальному миру, и особенно к физическим явлениям. На этот вопрос существует несколько ответов. Один из них состоит в том, что в математические аксиомы входят неопределяемые понятия, и, по-разному интерпретируя эти понятия, можно достичь согласия о описываемой физической ситуацией. Так, например, эллиптическая неевклидова геометрия применима и к обычным прямым на эллиптическойплоскости, под которой можно — понимать и обычные «физические» плоскости (ведь «в пределе» при очень большой длине каждой прямой эллиптическая геометрия переходит в евклидову!), и к геометрии на сфере, где «прямыми» служат дуги больших окружностей сферы, высекаемых из нее плоскостями, проходящими через центр сферы.

Объяснение такого рода предложил Пуанкаре. Ему хотелось, чтобы математика была чисто дедуктивной наукой, которая лишь шаг за шагом выводит следствия из исходных аксиом. Используя правдоподобные аксиомы, возможно подсказанные его чувственными восприятиями, человек создает евклидову или неевклидову геометрии. Аксиомы и теоремы этих геометрий не являются ни эмпирическими, ни априорными истинами. Они истинны или ложны ничуть не больше, чем правильно или неправильно использование полярных координат по сравнению с прямоугольными. Пуанкаре назвал эти геометрии соглашениями для упорядочения и измерения тел или замаскированными определениями понятий. Мы используем ту геометрию, которая наиболее удобна. Тем не менее, подчеркивал Пуанкаре, мы всегда используем евклидову геометрию c прямыми, понимаемыми в обычном смысле, т.е. как натянутые нити или край линейки, потому что евклидова геометрия самая простая. Почему же теоремы геометрии должны быть применимы к физическому миру? Ответ, данный Пуанкаре, гласил: потому что мы изменяем физические законы, стремясь привести их в соответствие с математикой, «подогнать» под нее.

Чтобы проиллюстрировать выдвинутый Пуанкаре тезис, рассмотрим, как геодезисты определяют расстояния. Сначала они выбирают удобный базис — отрезок AB(рис. 15.1), длина которого измеряется мерной лентой. Чтобы определить расстояние AC,геодезист измеряет угол CAB,визируя в специальную трубу, установленную в точке A,направление на точку C,а затем наводя трубу на точку B.По лимбу на теодолите геодезист узнает, на какой угол была повернута труба, и тем самым измеряет угол CAB.Аналогичным образом геодезист измеряет угол ABC.Предполагается, что лучи света, идущие из  Cв  Aи из Bв A,совпадают с отрезками прямых (натянутыми нитями), соединяющими точки  Cи  Bс точкой A.

Рис 15.1.Измерение расстояний методом триангуляции.

Но мы знаем, что аксиомы евклидовой геометрии согласуются с представлением о прямой как о натянутой нити, поэтому геодезист при вычислении расстояний  ACи  BCсмело использует евклидову геометрию. Предположим теперь, что полученные геодезистом расстояния все же оказались неверными. Как это могло произойти? Луч света, идущий из точки  Cв точку A,мог распространяться по траектории, показанной на рис. 15.1 пунктиром; при этом, чтобы поймать световой «зайчик», геодезисту приходилось наводить теодолит в точке  Aпо касательной к описываемой лучом света траектории. Следовательно, теодолит мог быть наведен на точку C',хотя геодезист видел точку C,и вместо угла CABон измерил угол C'AB.В этом случае применение евклидовой геометрии могло бы дать неверные значения расстояний  ACи BC.

Итак, возникает вопрос: по какому пути распространяются лучи света? Иногда они распространяются по «настоящим» (обычным) прямым, иногда изгибаются вследствие рефракции в атмосфере. Предположим, что геодезист определил расстояния  ACи  BCневерно. Не имея никаких оснований считать лучи света искривленными, он тем не менее счел их таковыми и в своих вычислениях обращался с отрезками  ACи  BCкак с криволинейными. Введя надлежащие поправки в измерения углов в пунктах  Aи B,геодезист мог бы воспользоваться евклидовой геометрией и получить правильные значения расстояний ACи  BC.

Приведем еще один пример, поясняющий тезис Пуанкаре о том, что математику можно подогнать под физическую реальность; этот пример касается вращения Земли. По мнению Пуанкаре, вращение Земли необходимо принять как физический факт, так как в астрономии это допущение приводит к более простой математической теории рассматриваемых явлений. Действительно, простота математической теории была единственным аргументом, который Коперник и Кеплер смогли привести в пользу гелиоцентрической системы по сравнению со старой геоцентрической системой Птолемея.