Математика. Утрата определенности.

Развитая Пуанкаре философия науки обладает несомненным достоинством. Мы действительно пытаемся обходиться возможно более простой математикой и изменять в случае необходимости физические законы так, чтобы наши умозаключения находились в согласии с физическими фактами. Но современные физики и математики используют в качестве критерия простоту математической и физической теории в целом.И если для получения простейшей комбинированной [физико-математической] теории нам придется воспользоваться неевклидовой геометрией, как это сделал Эйнштейн в своей теории относительности {180}, то мы пойдем на это.

Хотя объяснение эффективности математики, предложенное Пуанкаре, было более подробным, в определенных пределах он считал верным и кантовское объяснение, а именно ту его часть, где говорится, что согласие между математикой и природой создается человеческим разумом. Так, в «Ценности науки» Пуанкаре утверждает:

Но та гармония, которую человеческий разум полагает открыть в природе, существует ли она вне человеческого разума? Без сомнения — нет; невозможна реальность, которая была бы полностью независима от ума, постигающего ее, видящего, чувствующего ее. Такой внешний мир, если бы даже он и существовал, никогда не был бы нам доступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что общо нескольким мыслящим существам и могло бы быть общо всем. Этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся математическими законами.

([1], с. 158.)

Есть и другое, несколько туманное, возможно, чрезмерно упрощенное объяснение эффективности математики. Согласно этому объяснению, существует объективный физический мир и человек стремится согласовать с ним свою математику. Мы вносим необходимые коррективы, когда приложения обнаруживают неточности математического описания или прямые ошибки в нашей математике. Подобную точку зрения Гильберт высказал в докладе на II Международном математическом конгрессе в 1900 г.:

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вперед новые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленной гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания.

([51], с. 16-17.)