Математики тоже шутят

Через год после публикации в «Кванте» И. Акулич придумал самоописывающуюся фразу, описывающую не только слова в нее входящие, но и знаки препинания: Фраза, которую Вы читаете, содержит: два слова «Фраза», два слова «которую», два слова «Вы», два слова «читаете», два слова «содержит», двадцать пять слов «слова», два слова «слов», два слова «двоеточие», два слова «запятых», два слова «по», два слова «левых», два слова «и», два слова «правых», два слова «кавычек», два слова «а», два слова «также», два слова «точку», два слова «одно», два слова «одну», двадцать два слова «два», три слова «три», два слова «четыре», три слова «пять», четыре слова «двадцать», два слова «тридцать», одно двоеточие, тридцать запятых, по двадцать пять левых и правых кавычек, а также одну точку.

Наконец, еще через несколько лет все в том же «Кванте», появилась заметка А. Ханяна, в которой приводилась фраза, скрупулезно описывающая все свои буковки: В этой фразе двенадцать В, две Э, семнадцать Т, три О, две Й, две Ф, семь Р, четырнадцать А, две 3, двенадцать Е, шестнадцать Д, семь Н, семь Ц, тринадцать Ь, восемь С, шесть М, пять И, две Ч, две Ы, три Я, три Ш, две П.

«Явно чувствуется, что не хватает еще одной фразы — которая рассказывала бы и о всех своих буквах, и о знаках препинания», написал в частном письме ко мне И. Акулич, породивший одного из приведенных ранее монстров. Возможно, эту весьма непростую задачу решит кто-либо из наших читателей.

15. «И гений — парадоксов друг...»

В продолжение предыдущей темы стоит упомянуть про рефлексивные парадоксы.

В уже упоминавшейся ранее книге Дж. Литлвуда «Математическая смесь» справедливо говорится, что «все рефлексивные парадоксы являются, конечно, превосходными шутками». Там же приводятся два из них, которые я позволю себе процитировать:

1. Должны существовать (положительные) целые числа, которые не могут быть заданы фразами, состоящими менее, чем из шестнадцати слов. Любое множество положительных целых чисел содержит наименьшее число, и поэтому существует число N, «наименьшее целое число, которое не может быть задано фразой, состоящей из менее, чем шестнадцати слов». Но эта фраза содержит 15 слов и определяет N.

2. В журнале Spectatorбыл объявлен конкурс на тему «Что бы Вы с наибольшим удовольствием прочли, раскрыв утреннюю газету?» Первый приз получил ответ:

Наш второй конкурс

Первый приз во втором конкурсе этого года присужден мистеру Артуру Робинсону, остроумный ответ которого без натяжки должен быть признан наилучшим. Его ответ на вопрос: «Что бы Вы с наибольшим удовольствием прочли, раскрыв утреннюю газету?» был озаглавлен «Наш второй конкурс», но из-за лимитирования бумаги мы не можем напечатать его полностью.

16. Палиндроматика

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо и справа налево. Одну наверняка знают все: А роза упала на лапу Азора. Именно ее просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина. Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Вот еще несколько примеров: 1. Лилипут сома на мосту пилил. 2. Лезу на санузел. 3. Лег на храм, и дивен и невидим архангел. 4. Нажал кабан на баклажан. 5. Муза, ранясь шилом опыта, ты помолишься на разум. (Д. Авалиани). 6. Уж редко рукою окурок держу... (Б. Гольдштейн) 7. Учуя молоко, я около мяучу. (Г. Лукомников). 8. Он верба, но она — бревно. (С. Ф.)

А интересно, есть ли палиндромы в математике? Для ответа на этот вопрос попробуем перенести идею взаимообратного, симметричного прочтения на числа и формулы. Оказывается, это не так уж и трудно. Познакомимся лишь с несколькими характерными примерами из этой палиндромной математики, палиндроматики. Оставляя в стороне палиндромные числа — например, 1991, 666и т.д. — обратимся сразу к симметричным формулам.