Менеджмент: конспект лекций

Минимизацию затрат проведем в три этапа. На первом этапе зафиксируем моменты t 1, t 2, t 3, … Рассмотрим два соседних момента t k и t k+ 1. Положим Δ = t k+ 1 – t k . Тогда ситуация полностью описана, если задан промежуток времени δ такой, что в момент t k + δ уровень качества выпускаемой предприятием продукции совпадает с мировым уровнем качества.

Меняя величину δ, мы изменяем высоту рассматриваемой «ступеньки» графика P ( t ), не влияя на остальные «ступеньки». В результате можно провести локальную оптимизацию высоты «ступенек» при заданных моментах t 1, t 2, t 3, … выпуска на рынок очередных марок. Задача локальной оптимизации допускает декомпозицию, т. е. разбивается на задачи оптимизации для каждой ступеньки по отдельности.

За промежуток времени Δ затраты, связанные с превышением уровня качества сверх мирового, как видно, равны

а потери из—за морального старения (при отставании от мирового уровня) равны

Следовательно, суммарные потери за рассматриваемый интервал времени момента ( t k ; t k+ 1) равны

Выбирая δ оптимальным образом, минимизируем суммарные затраты и потери за рассматриваемый интервал времени. Продифференцировав функцию f (δ) по δ и приравняв производную 0, получим оптимальное значение δ, а именно:

При оптимальном δ затраты за период с t k до t k+ 1, как нетрудно подсчитать, равны

На втором этапе оптимизации зафиксируем число скачков и найдем при этом условии оптимальные моменты скачков t 1, t 2, t 3, … Положим Δ j = t j+ 1 – t j , где j = 1, 2, …, n, причем примем t n+ 1 = T , где T – горизонт планирования. Тогда суммарные затраты за весь рассматриваемый интервал планирования равны

Эту функцию необходимо минимизировать по всем n неотрицательным переменным Δ j , j = 1, 2, …, n, при условии

Δ 1 + Δ 2 + … + Δ n = T .

Достаточно решить чисто математическую задачу оптимизации

где n = n(T). Для ее решения целесообразно ввести новые переменные

Тогда

Поскольку

то

следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т. е. при

Тогда

При этих значениях

выполнены все ограничения оптимизационной задачи.