Менеджмент. Учебник

Задача заключается в том, чтобы наилучшим (оптимальным) образом распределить имеющиеся ресурсы по предприятиям, т. е. найти неизвестные величины xj,требуемые для этого количества предприятий данного типа.

ПРИМЕР

Собственник располагает четырьмя видами ресурсов ( m= 4). Это, например, денежные средства, производственные помещения, оборудование, сырье. Ресурсы необходимо распределить между шестью предприятиями ( п= 6). Предприятия различаются по экономическим условиям деятельности: месту расположения, системе налогообложения, стоимости энергии, оплате труда и т. д., в связи с чем имеют разные издержки производства. Относительные уровни издержек заданы табл. 16.2.

Таблица 16.2

Относительные уровни издержек на предприятиях

Распределение ресурсов по предприятиям сопряжено с необходимостью учета ряда ограничений, которые могут быть описаны системой четырех уравнений с шестью неизвестными, аналогичной системе (16.10):

Рис. 16.1. График оптимального распределения ресурсов

Смысл первого уравнения в нашем примере в том, что ресурс вида 1, общий ресурс которого составляет 16 единиц, может размещаться в количестве четырех единиц на предприятии первого типа и одной единицы – на предприятии четвертого типа. Аналогично раскрывается смысл второго и последующих уравнений. Последнее условие говорит о том, что число предприятий не может быть отрицательным.

Необходимо определить, какое количество предприятий каждого типа следует иметь, чтобы общие издержки были минимальными.

В соответствии с табл. 16.1 целевая функция, подлежащая оптимизации, примет вид:

Решение

Решение задачи сводится к выполнению ограничений, заданных уравнениями (16.12), с учетом условия минимизации выражения (16.13).

В нашем примере, когда п - т= 2, каждое из ограничительных линейных уравнений (16.12), а также линейная функция (16.13) могут быть представлены геометрически в двухмерном пространстве (на плоскости).

Чтобы представить ограничения и целевую функцию на графике, необходимо выразить все известные через независимые величины. Например, x1и х2,соответствующие координатным осям, относительно которых будет производиться построение (рис. 16.1).

Из уравнений (16.12) следует:

Целевая функция примет вид

Из сопоставления уравнения (16.14) и последнего из ограничений (16.10) xj0 следует:

Каждому из неравенств (16.16) на графике рис. 16.1 соответствует полуплоскость, в пределах которой находятся все допускаемые данным неравенством значения переменной величины xj (j =1, 2,..., 6). Так, неравенству x10 соответствует полуплоскость вправо от оси х2(граница ее заштрихована). Неравенству x3= 8 x1+ 12 х2- 16 0 соответствует полуплоскость вправо и вверх от линии граничного значения данного неравенства (при х3= 0). Уравнение этой линии:

Таким же образом можно построить границы, определяемые другими уравнениями.

Неравенствам (16.16) соответствует некоторая область – шестиугольник ABCDEF,образованный границами упомянутых выше полуплоскостей. Эта область может быть названа областью допустимых планов, поскольку любая точка в ее пределах отвечает требованиям наложенных ограничений (16.12).

Из всех допустимых планов нас интересует оптимальный план, при котором функция цели удостигает минимума.

Целевой функции соответствует семейство параллельных прямых. Рассмотрим одну из них, проходящую через начало координат, что будет иметь место при у =22,8. При этом x2 = 3x1.

Интересующая нас прямая у =22,8, как видно на рис. 16.1, имеет наклон вправо от оси х2.Задаваясь различными значениями у,получим семейство прямых линий, параллельных прямой у =22,8, проходящей через точку 0. При этом чем меньше будет значение у,тем, очевидно, правее будет располагаться соответствующая прямая.

Поскольку мы добиваемся минимального значения у,то нас будет интересовать прямая, расположенная в наибольшем удалении вправо от прямой у =22,8 и проходящая через многоугольник ABCDEF, –прямая ymin.

Единственной точкой, соответствующей оптимальному плану, будет та вершина многоугольника ABCDEF,которая одновременно принадлежит области допустимых планов и отвечает требованию минимизации целевой функции у, -вершина С.Из уравнения прямой ЕС,проходящей через точку С,следует, что х1= 4. Из уравнения прямой DC,проходящей через ту же точку, следует, что x2= 0.

Подставляя полученные значения x1= 4 и x2= 0 в уравнения (16.14), определим величины остальных переменных, составляющих оптимальный план:

Таким образом, оптимальный план будет следующим:

Линейная форма (величина издержек) при этом будет минимальной:

На практике встречается ряд задач, аналогичных рассмотренному примеру, но требующих максимизации целевой функции (например, величины дохода или прибыли).

При решении этих задач целевая функция рассчитывается по формуле, аналогичной (16.11):