Многочисленные Катерины

Согласно теории Колина, горизонтальная линия (называемая осью Х) обозначает время. Первый раз, когда кривая пересекает ось Х, – это начало отношений, а когда второй – расставание. Если в промежутке кривая проходит над осью X (как в нашем примере), значит, девочка бросает мальчика; если же кривая проходит под осью X, это означает, что мальчик бросает девочку. («Мальчик» и «девочка» в нашем случае – обозначения условные; в случае однополых отношений, они могут быть «мальчик 1» и «мальчик 2», или «девочка 1» и «девочка 2».) На нашем графике пара впервые целуется во вторник, и девочка бросает мальчика в среду. (В целом, вполне типично для романа между Колином и Катериной.)

Поскольку кривая пересекает ось X только в начале и конце отношений, то, чем дальше проходит кривая от оси, тем дальше момент расставания, или, говоря иначе, тем лучше развиваются отношения.

Вот более сложный пример, график моего романа с одной из моих бывших.

Первый всплеск произошел в феврале, когда через считаные часы после нашей встречи вдруг началась метель и она, разбив машину на заледеневшей дороге, сломала руку. Нам пришлось запереться в моей квартире. Она глотала обезболивающие, а я пытался сжиться с новыми для себя ролями медбрата и бойфренда, что основательно вскружило мне голову. Но этот период закончился внезапно, когда, две недели спустя, снег растаял, рука зажила, и, выбравшись из моей квартиры во внешний мир, мы немедленно обнаружили, что у нас совершенно разный образ жизни и не так уж много общего.

Следующий, менее сильный всплеск произошел, когда мы поехали отдыхать в Будапешт. Отдых быстро подошел к концу, когда мы заметили, что наши романтические каникулы состоят из того, что мы примерно двадцать три часа в день ссоримся из-за мелочей.

Кривая наконец пересекает ось X в августе, когда я бросил ее и она ровно в полночь выставила меня, бездомного и нищего, из квартиры на улицы Беркли.

Второй ингредиент озарения Колина – тот факт, что графики (в том числе и графики романтических отношений) можно представить в виде функций. Сейчас я объясню, потерпите.

Во-первых, когда мы рисуем подобную диаграмму, то

каждую точку на ней можно представить в виде чисел. Отметим числа на горизонтальной (ось X) и на вертикальной (ось Y) оси. Теперь, чтобы обозначить точку на плоскости, нам достаточно указать два числа: одно, указывающее на расстояние от точки до оси X, и второе – до оси Y. Например, точка (2,1) находится около точки (2) на оси X и точки (1) на оси Y. Иначе говоря, она находится на два пункта правее и на один пункт выше точки пересечения осей X и Y, которая обозначается (0,0). Точка (0, -2) расположена на оси Y на два пункта ниже точки пересечения осей, а точка (-3, 2) – на три пункта левее и на два пункта ниже точки пересечения осей.

Теперь поговорим о функциях. Функция – это нечто вроде машины, превращающей одни числа в другие. Это правило очень простой игры: я даю вам одно число, а вы возвращаете мне другое.

Например, функция может сказать: «Возьмите число и умножьте его на него же» (то есть возведите в квадрат). Тогда наш диалог будет примерно таким.

Я: 1

Вы: 1

Я: 2

Вы: 4

Я: 3

Вы: 9

Я: 9 252 459 984

Вы: 85 608 015 755 521 280 256

Многие функции можно представить в качестве алгебраических уравнений. Например, функцию, о которой шла речь выше, можно записать так:

f(x) = x²

Это означает, что я даю вам число x, а вы умножаете его на него же (возводите в квадрат) и возвращаете получившееся число мне. Используя эту функцию, мы сможем отметить все точки вида (x,f(x)). Вместе эти точки образуют некую кривую на плоскости, и мы называем эту кривую «графиком функции». Возьмем функцию

Отметим точки (1, 1), (2, 4) и (3, 9). Также отметим (0, 0), (-1, 1), (-2, 4) и (-3, 9). (Помните, что если отрицательное число умножить на это же число, получится число положительное.)

Как вы, наверное, уже догадались, график будет иметь вид вот такой кривой:

Вы могли заметить, что этот график, к сожалению, довольно плохо годится для отображения отношений. Графики, которые Колин использует для своей теоремы, должны пересечь ось Х дважды (в первый раз – когда пара начинает встречаться, и во второй – в момент расставания), а наш график коснулся ее только единожды. Но это можно легко исправить, используя чуть более сложные функции. Возьмем, например, функцию:

График Колину знаком – это график короткого романа, который завершается тем, что его бросает девочка (нам известно, что девочка бросает Колина, потому что в промежутке между первым поцелуем и расставанием график проходит над осью Х). В общих чертах этот график верно описывает историю жизни Колина. Теперь остается только немного подправить ее, чтобы уточнить детали.

Одно из главнейших направлений математики в двадцатом веке – изучение семейств объектов. (Когда математики говорят «семейство», они имеют в виду «любое количество сходных объектов». Например, стул и стол принадлежат к семейству «мебель».)