Многоликий солитон

Аналогия с геометрическим определением тригонометрических функций cos(ω₀t) и sin(ω₀t) теперь должна быть ясной. Они определялись как проекции на координатные оси точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Поэтому площадь сектора, «заметаемого» радиусом, также равномерно нарастала со временем: S = ω₀t.

Еще ближе аналогия тригонометрических функций с гиперболическими функциями. Построим на таком же рисунке, как и рис. П1 взаимно перпендикулярные оси ОУ и ОХ (рис. П2).

Поделенные на проекции X(S) и Y(S) точки А на эти оси называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом аргумента S и обозначаются следующим образом:

Эти функции похожи на sin S и cos S. Ясно, что их легко выразить через ехр (S) и ехр (-S), но полезно знать и геометрическое определение, исходя из которого можно найти все основные свойства показательной и гиперболических функций.

Самое главное свойство показательной функции, которое можно было бы взять за определение, выражается очень просто: e^S₁+S₂ = e^S₁ • e^S₂. Доказывается оно геометрическим рассуждением, провести которое мы предлагаем читателю. Покажите также, что sh S = 1/2 (e^S - e^-S), ch S = 1/2 (e^S + e^-S).

2. Найдем теперь геометрическим построением решение уравнения (4.6). Обозначим = ψ (рис. ПЗ).

Отсюда очевидно, что ψ = (π - φ)/4 и tg ψ = exp(-S)/exp(S) = exp(-2S). Приращение площади ΔS при малом смещении точки А по гиперболе можно записать как площадь малого сектора с радиусом (ОА)  (ОА') и углом -Δψ = , т. е. ΔS = -½Δψ·(ОА)². Так как (ОА) = ехр(S)/cos ψ, то отсюда следует, что

Возвращаясь к углу φ, находим, что

Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ½ω₀t. Тогда φ' = 2ω₀cos(φ/2), а условие tgψ = exp(-2S) дает

Мы показали, что угол φ(t) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t₀. Если угол φ близок к π, то для α = (π - φ)/4 получим из (4.9), что α = ехр(-ω₀t) (так как tg α α). Таким образом, α удовлетворяет уравнению (4.7).

3. В заключение приведем некоторые солитонные уравнения и их простейшие решения.

Уравнение КдФ написано на с. 217, а его солитонное решение на с. 222, формулы (7.1), (7.2). Обычно это уравнение записывают для безразмерной функции u = 3y/4h от безразмерных переменных

где точка обозначает производную по Т, а штрих — производную по X. Солитонное решение в новых переменных

u = 6k/ch² [k (Х - VT)],

где k — произвольное число, а V = 1 + 4k² (сравните это с (7.1) и (7.2)). Если заменить в уравнении КдФ и u² на u^З, то получим модифицированное уравнение КдФ (или мКдФ), также часто встречающееся в приложениях. Его солитонное решение имеет простой вид

u = k/ch [k (Х - VT)], V = 1 + k².

Уравнение «синус-Гордона» приведено в тексте на с. 181, формула (6.11). Обычно его записывают для функции u = π + φ от безразмерных переменных Т = ω₀t и Х = ω₀x/v₀:

Как следует из (6.5), его односолитонное решение имеет вид

Два солитона описываются решением

u = 4 aгctg [V sh (βX)/ch (βVT)],

солитон-антисолитон решением

u = 4 aгctg [V^-1 sh (βVT)/ch (βХ)],

а бризер есть

u = 4 aгctg [α sin (ЬТ)/Ь сh (αХ)], α² + Ь² = 1.

Приведем еще солитонное решение уравнений цепочки Тоды:

где u_n — безразмерные координаты частиц в цепочке. Солитонное решение этих уравнений описывается формулами

α — произвольное число. Заметим, что дискретизованное уравнение КдФ имеет вид

а уравнения Тоды в континуальном пределе приводят к уравнению Буссинеска

которое иногда называют уравнением нелинейной струны.

Наконец, полезно знать простейшее уравнение нелинейной диффузии (Хаксли)

и его решение в виде уединенной волны

С другими уравнениями и их солитонными решениями читатель может познакомиться по книгам: Солитоны в действии/Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. — М.: Мир, 1981; Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. В этих книгах описаны и многие физические приложения теории солитонов.