Многоликий солитон

_{Примерно по такой же схеме велись вычисления в небесной механике (невозмущенное движение — это движение по кеплеровым эллиптическим орбитам). Лагранж и особенно Лаплас выполнили большие и трудоемкие вычисления возмущенных движений планет, на основании которых можно было определить точные положения планет в далеком прошлом и будущем. Применяя их методы, Адамс и Леверье впоследствии обнаружили отклонение орбиты Урана от рассчитанных значений и объяснили это явление возмущающим влиянием новой, неизвестной планеты Нептун.}

^{В дальнейшем А. Пуанкаре и замечательный русский математик Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918) чрезвычайно усовершенствовали и обобщили методы возмущений. Хотя они в основном интересовались задачами небесной механики, созданные ими методы оказались столь общими, что их легко было приспособить к решению совсем других нелинейных задач физики и техники. Когда примерно 50 лет назад Мандельштам и Андронов начали применять методы Ляпунова и Пуанкаре в нелинейной радиофизике, они были немало поражены тем, сколь эффективны методы небесной механики при расчете, например, работы лампового генератора. С тех пор область применения этих методов постоянно расширялась.}

^{Примерно в то же время Николай Митрофанович Крылов (1879—1955) и Николай Николаевич Боголюбов разработали новые методы теории возмущений в нелинейной механике, позволяющие описывать не только периодические, но и гораздо более сложные движения нелинейных систем. Эти методы были применены Н. Н. Боголюбовым к описанию хаотических движений в системах, состоящих из очень большого числа частиц. В последние годы, в особенности под влиянием идей А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда, началось объединение качественных и количественных методов исследования нелинейных систем. Все это привело к замечательному расцвету нелинейной механики, которая теперь с успехом применяется в самых разных науках и сыграла огромную роль в развитии теории солитонов.}

Продолжим разбор движений маятника, следуя по пути, подсказываемому физической и отчасти геометрической интуицией. Ясно, что фазовые траектории можно нарисовать для движения маятников с любой энергией. Совокупность всех возможных фазовых траекторий составляет фазовый портрет. По этому портрету легко получить наглядное представление о всевозможных движениях.

Фазовый портрет

Чтобы научиться рисовать и без труда понимать фазовые портреты, рассмотрим сначала совсем простые задачи. Пусть точка равномерно движется по прямой и в начальный момент t = 0 ее координата s равна нулю, так что s = v₀t. График этого движения — прямая линия с наклоном, пропорциональным скорости (рис. 4.8, α).

Если на вертикальной оси графика 1 см соответствует 1 с времени, а 1 см по горизонтали соответствует 1 см пути, то скорость, очевидно, равна tg α см/с. Дальше мы не будем упоминать об этом соглашении и с производными величинами будем обращаться точно так же (на оси скорости 1 см соответствует скорость 1 см/с и т. д.). Отрицательным значениям угла отвечают движения в отрицательном направлении по оси Os (рис. 4.8, б).