Models of the Mind

Чрезмерное упрощение и одержимость эстетикой - это законные ловушки, которых следует избегать при применении математики в реальном мире. Но в то же время богатство и сложность биологии - это именно то, почему ей нужна математика.

Рассмотрим простой биологический вопрос. В лесу есть два вида животных: кролики и лисы. Лисы едят кроликов, а кролики - траву. Если вначале в лесу будет определенное количество лис и определенное количество кроликов, что произойдет с этими двумя популяциями?

Возможно, лисы свирепо загрызут кроликов, доведя их до полного исчезновения. Но тогда лисы, исчерпав свой источник пищи, сами начнут голодать и вымрут. В результате мы получим довольно пустой лес.другой стороны, может быть, популяция лис не такая ужпрожорливая. Возможно, они сокращают популяцию кроликов почти до нуля, но не совсем. Популяция лис все равно падает, поскольку каждая особь пытается найти оставшихся кроликов. Но затем, когда большая часть лис исчезла, популяция кроликов может восстановиться. Конечно, теперь пища для лис снова в изобилии, и, если их популяция останется в достаточном количестве, они тоже могут возродиться.

Когда нужно знать, что в итоге получится в лесу, полагаться на интуицию не стоит. Попытка "додумать" этот сценарий, как бы он ни был прост, с помощью одних лишь слов и историй недостаточна. Чтобы добиться прогресса, мы должны точно определить наши термины и точно указать их взаимосвязь - а это значит, что мы занимаемся математикой.

На самом деле математическая модель взаимодействия хищника и жертвы, которая может нам помочь, известна как модель Лотки-Вольтерры и была разработана в 1920-х годах. Модель Лотки-Вольтерры состоит из двух уравнений: одно описывает рост популяции жертвы в терминах численности жертвы и хищников, а другое - рост популяции хищников в терминах численности хищников и жертвы. Используя теорию динамических систем - набор математических инструментов, изначально созданных для описания взаимодействия небесных тел, - эти уравнения могут сказать нам, вымрут ли в конце концов лисы или кролики, или же они будут продолжать танцевать вместе вечно. Таким образом, использование математики помогает нам лучше понять биологию. Без нее мы, к сожалению, ограничены нашими врожденными когнитивными талантами. Как писал Лазебник: "Понимание [сложной] системы без формальных аналитических инструментов требует гениев, которые так редки даже за пределами биологии".

Чтобы взглянуть на кусочек биологии и понять, как его можно свести к переменным и уравнениям, требуется творческий подход, опыт и проницательность. Ученый должен проследить за беспорядочными деталями реального мира и найти его "голую" структуру, которая лежит в его основе. Каждый компонент модели должен быть определен соответствующим образом и точно. Однако как только структура найдена и уравнение написано, плоды этой дисциплины становятся очевидными. Математические модели - это способ описать теорию работы биологической системы достаточно точно, чтобы донести ее до других. Если эта теория хороша, модель можно использовать для предсказания результатов будущих экспериментов и обобщения результатов прошлых. А если запустить эти уравнения на компьютере, то модели станут "виртуальной лабораторией", позволяющей быстро и легко подставлять различные значения, чтобы увидеть, как могут развиваться различные сценарии, и даже проводить "эксперименты", которые еще не осуществимы в физическом мире. Прорабатывая таким образом сценарии и гипотезы в цифровом формате, модели помогают ученым определить, какие части системы важны для ее функционирования и, что важно, какие нет.

Такая интегральная работа вряд ли может быть выполнена с помощью простых историй, не сопровождаемых математикой. Как объяснил в своей статье 2008 года Ларри Эбботт, выдающийся теоретический нейробиолог и соавтор одного из самых распространенных учебников по этому предмету:

Уравнения заставляют модель быть точной, полной и самосогласованной, они позволяют проработать все ее следствия.Нетрудно обнаружить в разделах выводов старыхстатей по нейронауке словесные модели, которые звучат разумно, но, будучи выраженными в виде математических моделей, оказываются непоследовательными и невыполнимыми. Математическая формулировка модели заставляет ее быть самосогласованной, и, хотя самосогласованность не обязательно является истиной, самонесогласованность, безусловно, ложь.