Мой метод: начальное обучение

– квадрат, состоящий из 16 равных прямоугольников;

– квадрат, состоящий из 2 равных треугольников;

– квадрат, состоящий из 4 равных треугольников;

– квадрат, состоящий из 8 равных треугольников;

– квадрат, состоящий из 16 равных треугольников.

Ребенок может взять квадрат, состоящий из 2 равных прямоугольников, и квадрат, состоящий из 2 равных треугольников, поменять местами части фигур, то есть первый квадрат заполнить двумя треугольниками, а второй — прямоугольниками. Части фигур можно наложить друг на друга внутренней стороной (на внешней будут мешать кнопки, которые нужны для удобства доставания фигуры из рамки). Наложение позволяет установить равенство фигур. Однако треугольник и прямоугольник — разные по форме фигуры, хотя каждая из них составляет ровно половину того же самого квадрата. Так рождается ощущение равенства площади фигур. Два треугольника равны между собой, и два прямоугольника равны между собой. Ученик сравнивает их, накладывая фигуры друг на друга, и замечает, что часть треугольника, выходящая за пределы прямоугольника, равна той части треугольника, которая прикрыта прямоугольником. Следовательно, треугольник и прямоугольник отличаются по форме, но равны по площади.

Аналогичные наблюдения повторяются и с другими квадратами, разделенными на большее количество частей. Квадратики, являющиеся четвертой частью большого квадрата (они получились в результате деления фигуры по медианам), равны между собой и равны по площади треугольникам, возникшим в результате деления большого квадрата по диагоналям. Фигуры, одинаковые по форме, но отличающиеся по размеру, являются подобными. Прямоугольник — половина большого квадрата, подобен прямоугольнику, являющемуся ¹/₈ большого квадрата, при этом они не равны между собой, у них разная площадь. Также подобны друг другу большой квадрат и маленький, четвертушка большого. И т. д.

В разделении квадрата на части уже содержится идея дроби, хотя это пока еще не тот материал, который специально предназначен для изучения дробей.

 Вторая серия вкладышей: дроби.

Десять дощечек с углублениями в форме круга диаметром 10 см, белого цвета. В первое углубление вложен целый круг, в остальные — такие же круги, но поделенные на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 равных частей. Дети учатся измерять углы каждой части. Для этого мы вырезали картонный круг. Центр обозначен черной точкой на светлом фоне. Очерчен полукруг, радиус которого равен радиусу вкладышей. Этот полукруг поделен лучами на 18 секторов. Лучи выходят за пределы дуги полукруга, сверху написаны числа: 0, 10, 20 — и так до 180. Дуга каждого сектора поделена еще десятью маленькими делениями. Получилась шкала, где одно деление равно одному градусу. Линии, соединяющие 0 и 180 и идущие от центра к 90°, проведены толще, чем остальные, они чуть выпуклые, что позволяет накладывать фигуры точнее. Ученик кладет фигуру вкладыша на картонный расчерченный круг так, что вершина угла совпадает с центром, а одна из сторон заканчивается на нуле. Читаем цифру над окончанием другой стороны фигуры — это и есть величина угла в градусах. После таких упражнений, после работы с транспортиром, ребенок умеет измерять любые углы. Он знает, что круг — это 360°, полукруг — 180°, а прямой угол — 90°.

Теперь можно сосчитать, сколько градусов составляет угол седьмой части круга. 360°: 7=51°, это легко проверить наложением фигуры на расчерченный круг. Подсчеты и измерения можно повторить со всеми вкладышами, составляющими от половины до десятой части круга.

¹/₃ круга = 120°, 360°: 3-120°,

¹/₄ круга = 90°, 360°: 4 = 90°, и т. д…

¹/₁₀ круга = 36°, 360°: 10 = 36°.

Если знаменатели равны, то сложение дробей происходит путем простого сложения числителей. Знаменатель сохраняется.

Ребенок запоминает дроби: ¹/₂, ¹/₃, ... ¹/₁₀ У него есть и материальной восприятие, и арифметическое вычисление. С этим материалом можно совершать бесчисленные упражнения, осваивая счет с дробями. К примеру, ученик берет круг, состоящий из двух частей, и заполняет его фигурами — четвертинками круга. Он может оставить одну половину, а вместо второй положить две четвертинки. Вскоре он поймет: ¹/₂+¹/₂=¹/₄+¹/₄ +¹/₄+¹/₄, а две половинки равны четырем четвертям: ²/₂ = ⁴/_⁴. Ребенок мысленно считает дроби, видя части круга, и в состоянии выразить свое понимание при помощи математической записи. Наблюдения можно анализировать более глубоко.

¹/₂+¹/₂=²/₂

¹/₄+¹/₄ +¹/₄+¹/₄=⁴/₄

¹/₂+¹/₂=¹/₄+¹/₄ +¹/₄+¹/₄

Две половины и четыре четверти — это целый круг. Заполняя круг разными по размеру частями (например, один полукруг и две четверти), ребенок видит соотношение дробных чисел.

1 = ¹/₂+²/₄, то есть ¹/₂=²/₄. То же и с остальными дробями.

Ребенок учится сокращать дроби, видеть их простейшее выражение. Приходит очередь и сложных примеров, которые сначала выполняются при помощи вкладышей, а затем только на бумаге.