Мой метод: начальное обучение

Для этого достаточно разделить длинный прямоугольник пополам и положить одну часть над другой, образовав прямоугольник короче и шире первого. Большая прямоугольная рамка содержит три углублунных пространства: два трапецевидных (одинаковых) и одно прямоугольное, равное по площади, чья длина равна сумме двух оснований, а высота — половине высоты трапеции. Вкладыш в одну трапецию состоит из двух частей. Трапеция как бы разрезали по горизонтали на уровне половины высоты. Наложив обе части друг на друга, можно убедиться, что высоты равны. Вторая трапеция разделена на 4 части, которыми можно заполнить и прямоугольное пространство.

Равенство площадей двух фигур очевидно, а значит, можно понять, как вычислить площадь трапеции (умея вычислять площадь прямо-

угольника): произведение суммы двух оснований на половину высоты, или произведение полусуммы оснований на высоту. Ученики, измерив стороны фигур, могут произвести арифметические вычисления.

Равны площади правильного многоугольника и прямоугольника, если одна сторона прямоугольника равна периметру многоугольника, а вторая — половине апофемы.

Есть две отдельные рамки с углублениями в форме многоугольника. Один вкладыш представляет собой целый многоугольник, второй — многоугольник, разделенный на треугольники. К примеру, возьмем десятиугольник, значит, и треугольников будет 10. На отдельной рамке — прямоугольное углубление, которое можно заполнить треугольниками, разделенными горизонтальным разрезом на две половинки на уровне половины высоты (два треугольника должны быть еще разделены пополам вертикальным разрезом).

В геометрическом альбоме рисуем таблицу, демонстрирующую равенство площадей десятиугольника и прямоугольника. Рисуем отдельно развертку десятиугольника — 10 треугольников в ряд, горизонтальной пунктирной линией обозначаем уровень половины высоты треугольника. Рядом (параллельно) нужных размеров прямоугольник, а рядом прямоугольник, в который «врисованы» треугольники.

Из 10 треугольников-вкладышей можно без рамки сложить еще один прямоугольник (один треугольник при этом делится еще на два равных треугольничка вертикальным разрезом) и убедиться, что площадь многоугольника равна площади прямоугольника, одна сторона которого равна целой апофеме многоугольника, а другая — половине периметра. Становится понятно, что площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы, или произведению апофемы на половину периметра.

Некоторые теоремы, основанные на равенстве площадей фигур

1. Умея вычислять площадь треугольника, ребенок понимает, что все треугольники с одинаковыми основаниями и высотами равны по площади.

Для осознания этой теоремы мы приготовили специальный материал. Равные по площади ромб и прямоугольник. Каждая фигура разделена на два равных треугольника. Эти треугольники разные по форме, но равные по площади. Равенство их оснований и высот можно проверить и измерениями, и наложением фигур. Равенство площади треугольников очевидно, ибо эти треугольники представляют половины равных по площади фигур. (Равенство ромба и прямоугольника уже было доказано и проверено.)

2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного тре

угольника равен сумме квадратов двух катетов.

1) два катета равны между собой;

2) катеты относятся друг к другу как 3:4;

3) общий случай.

1) Два катета равны между собой. На рамке — прямоугольный равнобедренный треугольник. Каждая сторона треугольника одновременно является стороной квадрата. Квадраты катетов по диагонали поделены на два треугольника каждый. Квадрат гипотенузы двумя диагоналями разделен на 4 треугольника. Получается всего 8 треугольников совершенно одинаковых. Треугольники катетов могут быть уложены в квадрат гипотенузы и наоборот. Эти перемещения увлекают детей, особенно если учесть, что треугольники квадратов катетов выкрашены в один цвет, а 4 треугольника квадрата гипотенузы — в другой.

2) Катеты относятся друг к другу как 3: 4. Квадраты сторон треугольника делятся не на треугольники, как в первом материале, а на квадраты. Квадрат первого (меньшего) катета поделен на 9 квадратиков (3 в квадрате) одного цвета, квадрат второго катета разделен на 16 (4 в квадрате) квадратиков другого цвета, квадрат гипотенузы разделен на 25 (5 в квадрате) квадратиков третьего цвета. Игра с перемещениями очевидна. Квадраты двух катетов могут быть заполнены квадратиками из квадрата гипотенузы. А квадрат гипотенузы можно красиво выложить разноцветными квадратиками квадратов катетов.

3) Общий случай. Рамка вкладышей — это большой прямоугольник размером 44x24 см. Ее можно сравнить с шахматной доской, где перемещаемые фигурки создают самые разные комбинации.