Моя жизнь в астрономии

Эта работа Рахмана получила мировую известность и широко цитируется. В дальнейшем наши творческие пути с Рахманом разошлись. Он стал заниматься изучением вращения линии апсид в затменных двойных системах с эллиптическими орбитами. Здесь им получен ряд важных результатов по оценке степени концентрации вещества в недрах звезд. Широкую известность получила работа Мартынова и Халиуллина по анализу вращения линии апсид в затменной системе DI Her, где авторами было найдено, что релятивистский член в апсидальном движении аномально мал. Изучение вращения линии апсид в затменных двойных системах – любимая тема Д. Я. Мартынова, и он увлек этой проблемой Рахмана. Я же продолжал заниматься тесными двойными звездными системами, содержащими пекулярные компоненты.

Мои коллеги по некорректным задачам А. В. Гончарский и А. Г. Ягола успешно окончили кафедру математики физического факультета МГУ и поступили в аспирантуру. Мы втроем продолжали заниматься поисками оптимальных методов решения обратных задач астрофизики. При решении обратных некорректных задач необходимо как можно больше использовать специфику задачи, то есть накладывать как можно больше априорных ограничений на искомое решение, следующих из физического смысла задачи. Еще в 1943 году А. Н. Тихонов доказал теорему о решении обратной задачи на компакте. Если априорных физических ограничений на искомое решение достаточно, чтобы выделить так называемое компактное множество функций, то обратная задача является корректной (точнее говоря, условно корректной, поскольку она решается на ограниченном множестве функций). В этом случае решение обратной задачи является устойчивым и любой алгоритм решения такой задачи является регуляризирующим по Тихонову. В данном случае можно также оценить ошибку решения. В отличие от произвольного множества компактное множество обладает некоторыми свойствами упорядоченности. Строгое определение понятия компактного множества формулируется так: это такое множество, в котором из каждой последовательности элементов этого множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, множество функций, зависящих от конечного числа параметров, является компактным (а если компактному множеству принадлежат и границы этого множества, то это компакт).

Именно этим и объясняются большие успехи в решении обратных параметрических задач. Например, в случае звезд с тонкими атмосферами из физической теории тонких атмосфер получается аналитическое выражение для распределения яркости по диску звезды, зависящее от трех параметров: яркости в центре, радиуса звезды и так называемого коэффициента потемнения к краю x. Когда x = 0, диск звезды однородный, когда x = 1, яркость диска на краю равна нулю (полное потемнение к краю). Как я уже писал ранее, с использованием такого параметрического представления обратная задача интерпретации кривой блеска затменной системы сводится к нелинейной системе алгебраических уравнений, зависящей от небольшого числа искомых параметров. Эту систему можно решать любым методом, и получаемый набор искомых параметров будет устойчив по отношению к ошибкам наблюдений.

В случае затменных систем звезд с протяженными атмосферами, как уже отмечалось, не существует универсального параметрического представления для функции распределения яркости по диску звезды. Поэтому необходимо решать интегральное уравнение Фредгольма 1‑го рода для нахождения этой функции. Вначале мы с А. В. Гончарским и А. Г. Яголой решали это уравнение методом регуляризации Тихонова, который не требует выделения компакта и позволяет получить устойчивое приближение к точному решению при минимальной априорной информации о гладкости искомого решения (в этом состоит изумительная красота идеи тихоновского регуляризирующего алгоритма). В дальнейшем мы старались учесть специфику нашей обратной задачи и выделить компакт. После многомесячных изысканий я предложил использовать в качестве априорной информации в нашей модели информацию о монотонности и неотрицательности искомой функции распределения яркости по диску звезды с протяженной атмосферой.